FIR滤波器：原理、特性与应用

### FIR滤波器：原理、特性与应用 #### 1. FIR滤波示例的启示 在信号处理中，FIR（有限脉冲响应）滤波器有着重要的应用。通过一个示例，我们可以得到一些关于FIR滤波的重要结论。在该示例中，正弦分量相对于输入正弦波大幅减小，输出分量在经过M/2 = 3个样本的移位后，非常接近输入的指数分量。 从这个例子中，我们可以得出以下几点结论： - **信号修改能力**：FIR滤波能够以有用的方式修改信号。 - **平均间隔长度的影响**：平均间隔的长度对输出结果有很大影响。 - **引入移位**：滑动平均滤波器似乎会引入M/2个样本的移位。 这些观察结果适用于更一般的FIR滤波器。不过，在充分理解这个例子的细节之前，我们需要更深入地探索FIR滤波器的特性。 #### 2. 练习5.3：MATLAB实现8点平均器 我们可以使用MATLAB实现一个8点平均器，并处理复合信号。具体要求是输出在长度为8的滑动窗口完全与输入信号重叠的区域内，不应有正弦干扰。以下是操作步骤： 1. 在MATLAB中编写代码实现8点平均器。 2. 处理图5 - 6(a)中的复合信号。 3. 验证MATLAB输出中是否满足无正弦干扰的条件。 4. 通过考虑8点平均器对正弦波的单独影响，解释为什么会得到这样的结果。 #### 3. 单位脉冲响应与卷积 在这部分内容中，我们将介绍三个新的概念：单位脉冲序列、单位脉冲响应和卷积和。我们会发现，脉冲响应能够完全表征FIR滤波器，因为当已知单位脉冲响应时，卷积和提供了一个从输入计算输出的公式。 ##### 3.1 单位脉冲序列 单位脉冲序列可能是最简单的序列，因为它只有一个非零值，该值出现在n = 0处。其数学表示为Kronecker delta函数： \[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \] 以下是\(\delta[n]\)和\(\delta[n - 2]\)的取值表： | n | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | \(\delta[n]\) | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(\delta[n - 2]\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 移位脉冲\(\delta[n - 2]\)在其参数为零时非零，即n - 2 = 0，也就是n = 2时。 移位脉冲是表示信号和系统的一个非常有用的概念。例如，信号\(x[n] = 2\delta[n] + 4\delta[n - 1] + 6\delta[n - 2] + 4\delta[n - 3] + 2\delta[n - 4]\)可以用以下表格表示： | n | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | \(2\delta[n]\) | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(4\delta[n - 1]\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(6\delta[n - 2]\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(4\delta[n - 3]\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(2\delta[n - 4]\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | | \(x[n]\) | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 | 实际上，任何序列都可以用这种方式表示，其通用公式为： \[ x[n] = \sum_{k} x[k]\delta[n - k] = \cdots + x[-1]\delta[n + 1] + x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n - 1] + x[2]\delta[n - 2] + \cdots \] ##### 3.2 单位脉冲响应序列 当滤波器的输入是单位脉冲\(\delta[n]\)时，输出被称为单位脉冲响应，通常用\(h[n]\)表示。在系统的框图中，我们在输入处显示脉冲序列\(\delta[n]\)，在输出处显示对应的脉冲响应\(h[n]\)。 对于FIR滤波器，当输入\(x[n] = \delta[n]\)时，输出\(y[n] = h[n]\)，其表达式为： \[ h[n] = \sum_{k = 0}^{M} b_k \delta[n - k] = \begin{cases} b_n, & n = 0, 1, 2, \cdots, M \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \] 以下是脉冲响应的表格表示： | n | n < 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | M | M + 1 | n > M | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | \(x[n] = \delta[n]\) | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | \(y[n] = h[n]\) | 0 | \(b_0\) | \(b_1\) | \(b_2\) | \(b_3\) | ... | \(b_M\) | 0 | 0 | 可以看出，FIR滤波器的脉冲响应\(h[n]\)就是差分方程系数的序列。由于\(h[n]\)在\(n < 0\)和\(n > M\)时为0，所以脉冲响应序列\(h[n]\)的长度是有限的，这也是为什么该系统被称为FIR系统。 例如，对于因果3点滑动平均滤波器，其脉冲响应的图形如图5 - 9所示。 流程图如下： ```mermaid graph TD; A[输入单位脉冲序列\(\delta[n]\)] --> B[FIR滤波器]; B --> C[输出单位脉冲响应\(h[n]\)]; ``` ##### 3.3 单位延迟系统 单位延迟系统是一个重要的系统，它将信号延迟或移位n0个单位，其表达式为\(y[n] = x[n - n_0