神经网络与傅里叶分析：原理、应用与挑战

# 神经网络与傅里叶分析：原理、应用与挑战 ## 1. 神经网络基础 ### 1.1 前馈神经网络 前馈神经网络是一种基本的神经网络模型。在该模型中，有如下关键公式： - \(T_k = \beta_{0k} + \beta_{k}^T Z, k = 1, \ldots, K\) - \(f_k(X) = g_k(T), k = 1, \ldots, K\) 其中 \(Z = (Z_1, \ldots, Z_M)\) 和 \(T = (T_1, \ldots, T_K)\)。激活函数 \(\sigma(v)\) 通常选用 sigmoid 或 logistic 函数 \(\sigma(v) = \frac{1}{1 + e^{-v}}\)，此外还有双曲正切函数、修正线性单元函数等。对于回归问题，输出函数 \(g_k(T)\) 常选择恒等函数 \(g_k(T) = T_k\)。 在拟合神经网络模型时，需要寻找合适的权重值以使模型能很好地拟合训练数据。设 \(\theta\) 表示完整的权重集合，对于回归问题，误差函数定义为： \(R(\theta) = \sum_{k = 1}^{K} \sum_{i = 1}^{N} (y_{ik} - f_k(x_i))^2\) 对于分类问题，误差函数可以是交叉熵或平方误差函数： \(R(\theta) = - \sum_{k = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{K} y_{ik} \log f_k(x_i)\) 对应的分类器为 \(\arg \max_k f_k(x)\)。最小化误差函数 \(R(\theta)\) 通常采用梯度下降法，即反向传播算法。 ### 1.2 前馈神经网络的局限性 前馈神经网络的一个缺点是它没有考虑历史信息。为了在动态环境中工作，下面将介绍两种对前馈神经网络的改进模型。 ### 1.3 循环神经网络（RNN） 循环神经网络考虑了一系列输入 \(x_1, \ldots, x_T\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^D\)。在时间步 \(t\)，循环神经网络将当前输入 \(x_t\) 与前一个隐藏状态 \(h_{t - 1} \in \mathbb{R}^p\) 结合来计算输出。具体公式如下： - \(h_t = f_W(x_t, h_{t - 1})\) - \(y_t = g_{W_2}(h_t)\) 其中 \(f_W\) 是一个具有参数 \(W\) 的函数，这些参数在每个时间步都是相同的，\(g_{W_2}\) 可以建模为一个简单的前馈网络。 循环神经网络是一类人工神经网络，节点之间的连接沿着时间序列形成有向图，使其能够表现出时间动态行为。简单循环神经网络的架构如图 1 所示，在简单循环神经网络中，输出可以作为输入，同时具有隐藏状态。循环神经网络通常用于自然语言处理和语音识别。 ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px X0([X0]):::startend --> h0([h0]):::startend X1([X1]):::startend --> h1([h1]):::startend X2([X2]):::startend --> h2([h2]):::startend h0 --> h1 h1 --> h2 h0 --> y0([y0]):::startend h1 --> y1([y1]):::startend h2 --> y2([y2]):::startend ``` 图 1：简单循环神经网络架构 ### 1.4 长短期记忆网络（LSTM） 长短期记忆网络是对循环神经网络的改进。该模型引入了记忆单元，它取代了网络隐藏层中的传统人工神经元。通过这些记忆单元，网络能够有效地关联时间上遥远的记忆和输入，因此非常适合动态地把握数据结构，具有较高的预测精度。 具有遗忘门的长短期记忆单元的前向传播方程如下： - \(f_t = \sigma_g(W_f x_t + U_f h_{t - 1} + b_f)\) - \(i_t = \sigma_g(W_i x_i + U_i h_{t - 1} + b_i)\) - \(o_t = \sigma_g(W_o x_t + U_o h_{t