非粘性阻尼系统与频域载荷识别方法研究

# 非粘性阻尼系统与频域载荷识别方法研究 ## 1 非粘性阻尼系统的时程分析算法 ### 1.1 算法原理 在非粘性阻尼系统的时程分析中，通过对特定的因式分解式（25）进行迭代操作： \[ \begin{cases} N_1 = a_1 + \tau T_1 \\ N_2 = a_2 + \tau T_2 \\ \cdots \\ N_N = a_N + \tau T_N \end{cases} \] 这种因式分解需迭代 \(N\) 次，从而获得高精度的 \(\tau_T\) 和 \(j_T\) 值。将这些值代入相关方程（22），就能实现对该非粘性阻尼系统的高效高精度时程分析。 ### 1.2 数值算例 采用一个二维三层框架作为数值算例，该框架具有 12 个自由度（DOF），每个节点有一个转动自由度，每层有一个侧向自由度。此算例主要用于测试所提出方法的性能，不详细讨论阻尼模型。系统的非粘性阻尼模型可由一个指数函数构建，运动方程按式（3）描述（\(n\) 取值为 1），力学模型如图 1 所示。 为测试计算精度和处理离散载荷的方法，分别考虑在正弦波 \(\sin(\pi t)\) 和 El - Centro 波作用下二楼的位移。 数值计算时假设以下参数： - \(E = 3\times10^7\ N/m^2\) - \(m_{column} = 300\ kg\) - \(m_{beam} = 100\ kg\) - \(m_{story} = 2000\ kg\) - \(A_{column} = 0.6\times0.6\ m^2\) - \(A_{beam} = 0.2\times0.4\ m^2\) - \(\mu_1 = \gamma_1 T_{min}\)，\(\gamma_1 = 0.05\) - \(T_2 = \frac{\pi}{\omega_{max}}\) - \(C = \alpha M + \beta K\) - \(\alpha = \frac{2\xi_2\omega_2 - 2\xi_1\omega_1}{\omega_2^2 - \omega_1^2}\) - \(\beta = \frac{2\xi_1\omega_1\omega_2^2 - 2\xi_2\omega_2\omega_1^2}{\omega_2^2 - \omega_1^2}\) - \(\xi_1 = 0.02\)，\(\xi_2 = 0.05\) 使用三种方法计算结构在正弦波 \(\sin(\pi t)\) 作用下的位移，时间步长分别取 0.02s 和 0.5s，高斯积分点数取 2（\(m = 2\)）。将模态叠加法（MSM）的结果视为精确解。 - 当时间步长较小时，三种方法的结果相近。 - 当时间步长较大时，直接时域积分法（DTIM）和精确时间积分法（PIM）会产生较大误差，而所提出的方法（GPIM）仍能得到精确结果。 这表明 GPIM 的精度阶数取决于高斯积分点数和步长 \(\tau\)，具有可选择性。同时，在处理离散载荷时，DTIM 和 PIM 由于需要计算加载函数的积分和差分，可能会产生较大积分误差，而 GPIM 的递推表达式中无积分和微分项，且采用三次样条插值计算载荷的高斯积分点，克服了上述两种方法的缺点。图 2 展示了在 El - Centro 波作用下二楼的水平位移计算结果。 ### 1.3 方法优势 所提出的方法计算精度和计算量取决于高斯积分点数和步长 \(\tau\)。与传统精确时间积分法相比，虽然增加了指数矩阵的计算负担，但当 \(m = 2\) 时，计算精度明显提高，计算量增加不显著。而且可以采用相对较大的积分步长，显著减轻计算负担，既能保证高计算精度，又能提高计算效率。 ### 1.4 总结 该时程分析方法基于 Adhikari 和 Wagner 给出的非粘性阻尼系统的状态空间形式，结合精确积分的基本原理和高斯 - 勒让德求积法，提出了一种新的时域分析算法。该方法无逆矩阵项，在应用于多自由度大型结构时优势更明显，因为系统矩阵易出现非奇异现象。数值算例表明，该方法能保证高计算精度，通过增加积分步长减轻计算负担，处理离散载荷时更有效可靠。 以下是一个简单的流程图，展示非粘性阻尼系统时程分析的主要步骤： ```mermaid graph TD; A[初始化参数] --> B[进行因式分解迭代]; B --> C[ ```