网络网络渗流研究：从理论到不同网络类型分析

### 网络网络渗流研究：从理论到不同网络类型分析 #### 1. 动力学理论与模拟结果对比 在研究网络网络（NON）的动力学时，涉及到一系列复杂的公式。如公式（4.19）： \[ \begin{align*} &p_{y_{p_{q_{p_{q_y g_q q_y g_q y_{q_y g_q y_{q_y g_q}}}}}},\\ &0[(\ )1][(\ )1],\\ &(\ )1,(\ )1 \end{align*} \] 通过图4.12将该动力学的理论公式（4.19）与模拟结果进行对比，发现理论与模拟结果吻合良好。这表明理论公式能够较好地描述网络网络在级联故障下的动力学行为。 #### 2. 树状结构的稳态结果 为了研究NON的最终稳态，引入新变量 \(z_i=\frac{f_i x_i}{x_i + 1}\)（公式4.20）。通过一系列推导，得到以下重要公式： - \(f_i = H_i(z_i)\)（公式4.21） - \(x_i=(1 - z_i)[1 - H_i(z_i)]\)（公式4.22） - \(z_i = 1-\prod_{j\neq i}^{n}[1 - p_j H_j(z_j)]G_i(z_i)\)（公式4.23） - \(P_i^{\infty}=p_i\prod_{j = 1}^{n}[1 - G_j(z_j)]=F_i(z_i)\)（公式4.24） 若网络 \(i\) 的平均度 \(\bar{k}_i\) 存在，函数 \(F_i(z_i)\) 在 \(|z_i|\lt1\) 时为解析函数，且从 \(z_i = 0\) 时的 \(\frac{\bar{k}_i[1 - P_i(0)]}{\bar{k}_i[1 - P_i(1)]}\) 单调递减到 \(z_i = 1\) 时的零。选择使 \(F_i(0)\) 值最小的 \(i\)，求解方程 \(F_j(z_j)=F_i(z_i)\)（公式4.25），并将 \(z_j(z_i)\) 代入公式（4.23）得到 \(R_i(z_i)\)： \[ R_i(z_i)=\prod_{j = 1}^{n}(1 - p_j G_j[z_j(z_i)])=F_i(z_i) \] \(R_i(z_i)\) 是 \(z_i\in[0,1]\) 的解析函数，满足 \(R_i(0)\leq1\) 且当 \(z_i\to1\) 时 \(R_i(z_i)\to0\)。若其在该区间的最大值 \(R_c\gt1\)，则公式（4.26）在 \(z_i\in[0,1)\) 有根，最小根给出物理上有意义的解，可据此通过公式（4.24）求出相互巨分量 \(P^{\infty}\)。最小的 \(p = p_c=\frac{1}{R_c}\) 对应 \(R_i(z_i)\) 的最大值，该最大值点 \(z_{i_c}\) 满足 \(\frac{dR_i(z_i)}{dz_i}|_{z_i = z_{i_c}} = 0\)（公式4.27）。 当至少一个网络满足 \(P_i(0)+P_i(1)\gt0\)（条件I），且存在常数 \(M\gt0\) 和 \(\eta\gt0\) 使得每个网络 \(\sum_{k}\eta P_i(k)\lt kM\)（条件II）时，对于足够大的 \(n\)，\(R_i(z_i)\lt1\)，公式（4.26）无物理意义的解，NON会完全解体。相反，若所有网络 \(P_i(0)+P_i(1)=0\)，则对任意 \(n\)，存在 \(p(n)\lt1\)，当 \(p\geq p(n)\) 时NON的相互巨分量存在。 以下是不同条件下NON的状态总结表格： | 条件 | 网络状态 | | ---- | ---- | | 至少一个网络 \(P_i(0)+P_i(1)\gt0\) 且满足条件II，\(n\) 足够大 | 完全解体 | | 所有网络 \(P_i(0)+P_i(1)=0\) | 存在相互巨分量（\(p\geq p(n)\)） | #### 3. 一般稳态 为确定级联过程结束时系统的稳态，考虑 \(\tau\to\infty\) 时 \(\psi_{i,\tau}'\) 的极限。该极限满足 \(\psi_{i,\tau}'=\psi_{i,\tau + 1}'\)，令 \(\psi_{i,\tau}' = x_i\)，得到稳态下的 \(n\) 个方程的系统： - \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(q_{ji}y_{ji}g(x_j)+q_{ji})\)（公式4.28） - \(y_{ij}=x_i - q_{ji}y_{ji}g(x_j)+q_{ji}\)（公式4.29） 公式（4.28）适用于任何类型的相互依赖的NON，公式（4.29）表示无反馈条件。对于两个相互依赖的网络，这两个公式在单依赖链接的特定情况下等价于参考文献[23]的方程（13）。 该框架可从两个方面进行推广： - **有反馈条件**：此时 \(y_{ij}=x_i\)，公式（4.28）和（4.29）合并为 \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(q_{ji}x_jg(x_j)+q_{ji})\)（公式4.30）。反馈条件使相互依赖的网络网络极度脆弱，两个完全相互依赖的网络在有反馈条件下，无论平均度多大，移除一个节点都会导致网络崩溃。 - **多支持链接**：对于多依赖链接的情况，方程（4.28）被推广为 \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(1 - q_{ji}G_{ji}[x_jg(x_j)])\)（公式4.31），其中 \(G_{ji}\) 表示网络 \(i\) 依赖于网络 \(j\) 的多支持链接度分布的生成函数。 通过求解这些方程，可得到每个网络的 \(x_i\)，进而求出每个网络的巨分量 \(P_{i,\infty}=x_ig(x_i)\)（公式4.32）。 以下是不同耦合条件下方程的对比表格： | 耦合条件 | 方程 | | ---- | ---- | | 无反馈 | \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(q_{ji}y_{ji}g(x_j)+q_{ji})\)，\(y_{ij}=x_i - q_{ji}y_{ji}g(x_j)+q_{ji}\) | | 有反馈 | \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(q_{ji}x_jg(x_j)+q_{ji})\) | | 多支持链接 | \(x_i = p_i\prod_{j = 1}^{K}(1 - q_{ji}G_{ji}[x_jg(x_j)])\) | #### 4. 树状网络网络的渗流 对于 \(n\) 个耦合网络的树状结构，且所有网络具有相同的度分布，公式（4.23） - （4.27）可简化为： - \(p=\frac{1 - (1 - G_0(z_0))^n}{1 - H_0(z_0)}\)（公式4.33） - \(P^{\infty}=\frac{1 - (1 - G_0(z_