【实战演练】MATLAB之DC状态估计模型的高斯置信传播算法

 # 2.1 高斯置信传播算法的原理 高斯置信传播算法（Gaussian Belief Propagation，简称GBP）是一种基于贝叶斯滤波框架的非线性状态估计算法。它利用高斯分布来近似非高斯分布的后验概率密度函数，从而实现非线性系统的状态估计。 ### 2.1.1 状态预测和更新方程 GBP算法的核心思想是通过消息传递来更新状态分布。在状态预测步骤中，系统状态的先验分布通过转移概率密度函数更新为后验分布： ``` p(x_k | y_{1:k-1}) = \int p(x_k | x_{k-1}) p(x_{k-1} | y_{1:k-1}) dx_{k-1} ``` 其中，x_k表示时刻k的状态，y_{1:k-1}表示时刻1到k-1的观测数据，p(x_k | x_{k-1})是转移概率密度函数，p(x_{k-1} | y_{1:k-1})是时刻k-1的状态后验分布。 在状态更新步骤中，后验分布通过观测概率密度函数更新为新的后验分布： ``` p(x_k | y_{1:k}) = \frac{p(y_k | x_k) p(x_k | y_{1:k-1})}{\int p(y_k | x_k) p(x_k | y_{1:k-1}) dx_k} ``` 其中，p(y_k | x_k)是观测概率密度函数。 ### 2.1.2 权重更新方程 在GBP算法中，每个状态变量的权重表示该变量在后验分布中的重要性。权重更新方程用于更新权重，反映状态变量在观测数据下的可信度： ``` w_k(x_k) = \frac{p(y_k | x_k) w_{k-1}(x_k)}{\sum_{x_k} p(y_k | x_k) w_{k-1}(x_k)} ``` 其中，w_k(x_k)表示时刻k状态x_k的权重，w_{k-1}(x_k)表示时刻k-1的权重。 # 2. 高斯置信传播算法理论 ### 2.1 高斯置信传播算法的原理 高斯置信传播算法（Gaussian Belief Propagation，简称GBP）是一种用于非线性、非高斯系统状态估计的近似推理算法。其基本原理是利用高斯分布来近似非高斯分布，并通过传播这些高斯分布来近似计算后验分布。 #### 2.1.1 状态预测和更新方程 在GBP算法中，系统状态通过高斯分布来表示，即： ``` p(x) = N(x; μ, Σ) ``` 其中，μ和Σ分别表示高斯分布的均值和协方差矩阵。 在状态预测阶段，根据系统模型和先验分布，可以得到状态预测分布： ``` p(x_t | x_{t-1}) = N(x_t; f(x_{t-1}), Q) ``` 其中，f(x_{t-1})表示系统模型，Q表示过程噪声协方差矩阵。 在状态更新阶段，根据测量模型和预测分布，可以得到状态后验分布： ``` p(x_t | y_t, x_{t-1}) = N(x_t; μ_t, Σ_t) ``` 其中，μ_t和Σ_t表示后验分布的均值和协方差矩阵，其计算公式为： ``` μ_t = μ_t^- + K_t(y_t - h(μ_t^-)) Σ_t = Σ_t^- - K_tH_tΣ_t^- ``` 其中，μ_t^-和Σ_t^-表示预测分布的均值和协方差矩阵，K_t是卡尔曼增益，H_t是测量模型的雅可比矩阵。 #### 2.1.2 权重更新方程 在GBP算法中，每个高斯分布都关联着一个权重，表示该分布在后验分布中的重要性。权重更新方程用于更新这些权重，其公式为： ``` w_t = w_{t-1}N(y_t; h(μ_t), H_tΣ_tH_t^T + ```