随机网络组成的RRNON渗流特性研究

# 随机网络组成的RR NON渗流特性研究 ## 1 随机网络组成的RR NON的一般情况 为了研究系统在级联故障后能达到的各种稳态，我们假设每个网络依赖于 m 个其他随机网络，形成一个由 n 个随机网络组成的随机规则（RR）网络-of-networks（NON）。这里的 RR 类别还包括规则非随机网络，其中每个网络的依赖网络数量相同，依赖关系形成特定结构，如 ER 网络的晶格。 简化起见，假设对每个网络的初始攻击随机移除网络中 $1 - p$ 比例的节点，部分依赖比例为 q，每个 ER 网络的平均度 $\bar{k}$ 相同。由于对称性，相关方程可简化为： \[ \begin{cases} x = p + qyg(x)(1 - q)^m \\ y = p + qyg(x)(1 - q)^{m - 1} \end{cases} \] 通过代入 $z = \frac{xf(x)}{1 - x}$ 等操作，可得到： \[ P_{\infty}(z) = \frac{[1 - G(z)](1 - z)}{1 - H(z)} \] \[ \frac{z}{1 - H(z)} - \frac{p}{q} + \frac{p}{q}P_{\infty}(z)\left(\frac{1 - H(z)}{z}\right)^{m - 1} - \left(\frac{1 - H(z)}{z}\right)^m = 0 \] 方程 (4.65) 有助于理解由相互依赖的随机网络组成的 RR 网络的渗流情况，这些网络具有相同的平均度和度分布。为求解方程 (4.65)，引入分析函数 $R(z)$： \[ R(z) \equiv \frac{p}{1 - H(z)} - \frac{z}{1 - H(z)} + \frac{1}{1 - q} + \frac{4qP_{\infty}(z)}{(1 - q)^2} \] $R(z)$ 作为 z 的函数，对于不同的度分布有复杂的行为。下面通过两个例子说明： - **RR 网络由相互依赖的 ER 网络组成**：存在一个临界 $q_c$，当 $q < q_c$ 时，系统经历二阶相变，临界阈值 $p_c$ 依赖于 q 和平均度 $\bar{k}$；当 $q_c < q < q_{max}$ 时，系统经历一阶相变；当 $q > q_{max}$ 时，系统无 相变，因为即使单个节点故障，NON 也会崩溃。 - **RR 网络由相互依赖的 SF 网络组成**：相图与 ER 网络情况不同，不存在纯一阶相变。存在有效临界值 $q_{c}^e$，当 $q < q_{c}^e$ 时，系统经历二阶相变，且当每个网络节点数无限时，临界阈值 $p_c = 0$；当 $q_{c}^e < q < q_{max}$ 时，系统经历混合相变；当 $q > q_{max}$ 时，系统无 相变，所有网络崩溃。 ## 2 RR 网络由相互依赖的 ER 网络组成 对于 ER 网络，生成函数 $g(x)$ 满足： \[ g(x) = 1 - \exp[-\bar{k}x(1 - f)] \] \[ f = \exp[-\bar{k}(1 - f)] \] 将其代入相关方程可得： \[ f = \exp\left\{-\bar{k}[p + qy(1 - f)](1 - q)^m\right\} \] \[ y = p + qy(1 - f)(1 - q)^{m - 1} \] \[ P_{\infty} = -\frac{\log f}{\bar{k}} \] 消去 y 后得到关于 f 的方程，进而得到相互渗流巨分量： \[ P_{\infty} = \frac{-2(1 - q) + \sqrt{(1 - q)^2 + 4qP_{\infty}}}{2\bar{k}P_{\infty}} \] 从方程 (4.66) 和 (4.71) 可得到 $R(z)$ 和 $F(z)$： \[ R(z) = \frac{p}{1 - e^{-\bar{k}(1 - z)}} - \frac{z}{1 - e^{-\bar{k}(1 - z)}} + \frac{1}{1 - q} + \frac{4qz}{(1 - q)^2} \] \[ F(z) = \frac{dR(z)}{dz} = \frac{\bar{k}e^{-\bar{k}(1 - z)}(1 - z)}{(1 - e^{-\bar{k}(1 - z)})^2} - \frac{1}{1 - e^{-\bar{k}(1 - z)}} + \frac{4q}{(1 - q)^2} \] ### 2.1 $R(z)$ 的行为分析 - 当 q 较小时，$R(z)$ 是 z 的单调递增函数，最大值在 $z \to 1$ 时取得，对应二阶相变阈值 $p_{II}^c = \frac{1}{\max\{R(z)\}} = \frac{1}{R(z_c)}$，此时 $P_{\infty}(p_{II}^c) = 1 - z_c = 0$。 - 当 q 增大时，$R(z)$ 在 $z < 1$ 处出现最大值，对应一阶相变阈值 $p_{I}^c = \frac{1}{\max\{R(z)\}} = \frac{1}{R(z_c)}$，此时 $P_{\infty}(p_{I}^c) = 1 - z_c > 0$。 - 首次在 $z < 1$ 处出现 $R(z)$ 最大值的 q 值为 $q_c$，它区分了一阶和二阶相变。当 q 进一步增大，$\max\{R(z)\} < 1$，对应 NON 完全崩溃，$\max\{R(z)\} = 1$ 时的 q 值为 $q_{max}$，高于此值网络不稳定，会自发崩溃。 ### 2.2 不同相变区域分析 - **二阶相变阈值 $p_{II}^c$**：当 q 足够小时，$R(z)$ 单调递增，最大值在 $z \to 1$ 时取得，将 $z \to 1$ 代入 $R(z)$ 可得： \[ p_{II}^c = \bar{k}(1 - q)^m \] - **一阶相变阈值 $p_{I}^c$**：根据 $F(z) = \frac{dR(z)}{dz} = 0$ 求解 $z_c$，进而得到： \[ p_{I}^c = \frac{2(1 - z_c)e^{-\bar{k}(1 - z_c)}}{(1 - q)[1 + \sqrt{(1 - q)^2 + 4q(1 - z_c)}]} \] - **临界耦合强度 $q_c$**：当系统从二阶相变转变为一阶相变时，满足 $\lim_{z \to 1}\frac{dR(z)}{dz} = 0$，可解得： \[ q_c = \frac{\bar{k} + m - \sqrt{m^2 + \bar{k}^2}}{2\bar{k}} \] - **临界耦合强度 $q_{max}$**：当系统对任何 p 都不稳定时，由 $R(z) \leq 1$ 及相关条件可得： \[ q_{max} = \frac{a(1 - z_c)}{2(1 - 2a)} \] 其中 $a = 1 - 2(1 - z_c)e^{-\bar{k}(1 - z_c)}$，$z_c$ 可通过代入相关方程求解。 ### 2.3 相变总结 对于固定的 m 和 $\bar{k}$，存在两个临界耦合强度 $q_c$ 和 $q_{max}$： | q 范围 | 相变类型 | 特点 |