新型矩阵分解模型：局部与全局约束的融合

"本文介绍了一种新型的因子分解模型，称为基于约束的矩阵分解，用于改进缺失数据的估计。该模型结合了传统的低秩矩阵分解和子空间并方法，通过在局部子空间建模和全局交互之间寻找平衡，提高估计精度。文章探讨了这种方法在计算机视觉领域的应用，如非刚体和关节结构的运动分析、光度立体、光流、人脸识别和纹理补偿等。通过使用能量惩罚来平衡数据拟合和分解自由度，该方法在处理缺失数据时表现出显著的改善。" 传统的矩阵分解方法，如奇异值分解（SVD），假设数据可以近似为低秩矩阵，即数据点位于一个低维子空间内。这种分解形式为X=BCT，其中B和C分别代表列空间和行空间的基础及系数，且rank(X)=r0。然而，当数据中存在多个局部子空间或复杂交互时，单纯低秩分解可能不足以准确捕捉数据结构。 本文提出的新模型旨在克服这一局限，通过将数据划分为不同的簇，并对每个簇使用低维局部子空间进行建模，同时保持全局的秩约束来考虑整体交互。这样，局部子空间可以更精确地适应数据的局部特性，而全局约束则确保了不同子空间之间的协调。如图1所示，传统的全局模型（a）可能无法适应聚类数据，而局部模型（b）虽然能较好地拟合簇，但忽略了潜在的全局关联。新的统一方法（c）结合了这两者，使得局部1D子空间在2D子空间中被约束，从而在保持局部适应性的同时考虑全局关系。 为了推断和优化模型，作者引入了一个能量函数，它既考虑了数据拟合的程度，也考虑了因子分解的自由度。通过调整这个能量函数，可以找到最佳的局部子空间和全局交互的平衡，从而提高对缺失数据的估计质量。实验结果表明，这种方法在定性和定量上都显著优于传统的矩阵分解方法，特别是在处理大规模数据集和高缺失率的情况下。 总结来说，这篇论文提出的基于约束的矩阵分解模型是一种创新的数据建模技术，特别适用于处理包含大量缺失值的数据集。它通过结合局部建模和全局约束，能够更准确地估计缺失数据，这对于各种依赖于数据完整性的应用，如计算机视觉和数据挖掘，都具有重要的实用价值。