辗转相除法：求最大公约数的经典算法解析

辗转相除法，也被称为欧几里得算法，是一种古老且高效的求解两个整数最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor）的方法。该方法基于以下原理： 1. **定义与基本理论**： - 定义10.1: 整数a被整数b整除，记作b|a，b称为a的约数，a为b的倍数。 - 定理10.2: 对于任意整数a和b，存在唯一的整数q和r（0≤r<b），满足a = bq + r，这表明可以通过减法和除法来表示a相对于b的关系。 - 定义10.3: 最大公约数（GCD）是多个整数共有的最大约数，若所有数互素，其GCD为1。 - 定理10.4: 如果a能整除bc，并且a与b互素，则a也能整除c，这是扩展的除法规律。 - 定理10.5: 多个数的最大公约数等于这些数两两之间的最大公约数再与下一个数的最大公约数。 2. **多项式理论的应用**： - 定义10.6: 实系数多项式是实数系数的多项式，次数表示最高次项的指数。 - 定理10.7: 用于定义多项式之间的整除关系，即f(x)可以表示为g(x)的倍式。 3. **辗转相除法的具体步骤**： - 实验内容：用辗转相除法计算不同整数对的最大公约数，如(81, 42), (72, 95), (1397, 2413)。辗转相除法的核心步骤是用较小数去除较大数，每次得到的余数作为新的被除数，直到余数为0，最后的除数就是原两数的最大公约数。 - 举例：以1397和2413为例，首先用2413去除1397，得到商1和余数1016。然后用1016去除2413，如此反复，直到余数为0，最后的除数（或余数的倒数）就是两个数的最大公约数。 辗转相除法不仅限于整数，也适用于更广泛的数学领域，它在密码学、计算机编程中有着广泛应用，特别是在处理模运算时，它是找到最小非零余数的关键步骤。通过理解并掌握辗转相除法，学生可以更好地理解数论基础，以及如何利用这种算法解决实际问题。