二维点集查询处理：权值线段树与扫描线算法解析

"这篇学习笔记主要探讨了权值线段树和扫描线算法在处理二维空间点集查询问题中的应用。" 在二维空间点集的问题中，我们常常需要对平面上的点进行各种操作和查询。例如，题目描述中给出的例子，给定了n个点的坐标(xi, yi)，我们需要对q个矩形查询[x1, x2] × [y1, y2]内的点的数量。这样的问题可以通过权值线段树和扫描线算法来高效解决。 ### 权值线段树 权值线段树是一种数据结构，它允许我们在维护区间权值和进行区间更新时保持高效。在本问题中，我们可以将每个点视为一个权值，用权值线段树来统计每个矩形内点的数量。首先，我们需要对x坐标进行离散化，将x坐标映射到一个连续的整数序列上，这样可以减少计算复杂性。离散化后的x坐标范围是1到m（m是离散化后的x坐标的最大值）。 ### 扫描线算法 扫描线算法是一种处理二维几何问题的方法，通过对y轴进行排序，可以逐行处理问题。在这个例子中，我们将所有点按照y坐标排序，然后从y坐标最小的点开始，以y坐标为扫描线，逐步遍历每个点。当扫描线经过一个点时，根据该点的x坐标在离散化后的x轴上的位置进行操作。对于每个矩形查询，我们可以在扫过点时累加计数，直到扫过的点不在矩形范围内。 ### 算法实现 - `lowbit`函数：这个函数返回二进制表示下最低位的1，用于快速定位线段树的节点，是树状数组的基本操作。 - `add`函数：在树状数组中增加一个值，从k位置开始向上更新，累加v。 - `query`函数：查询从x位置到根节点的累加值，从x开始向下累加。 - `main`函数中，先读取点的信息并离散化x坐标，然后将点按y坐标排序，并记录事件（包括矩形的上下边界）。接着使用扫描线算法处理事件，对于每个事件，更新权值线段树。 ```cpp // 对于每个事件，判断是否在矩形内 for (auto& e : event) { if (e[0] >= x1 && e[0] <= x2 && e[1] >= y1 && e[1] <= y2) { add(e[2], 1); // 点在矩形内，添加到树状数组 } else if (e[0] > x2 || e[1] < y1) { add(e[2], -1); // 点不在矩形内，从树状数组中移除 } ans[e[3]] = query(m); // 更新答案 } ``` 通过这种结合权值线段树和扫描线的策略，我们可以有效地回答每个矩形查询，时间复杂度为O(n log n + q log n)，其中n是点的数量，q是查询的数量。 总结，权值线段树和扫描线算法是处理二维空间点集查询问题的有力工具，它们通过离散化、排序和区间维护等技术，使得复杂问题得以高效求解。在实际编程竞赛或算法设计中，这类算法有着广泛的应用。