动态规划解决费氏数列问题的高效算法

解决方法-算法动态规划 动态规划是算法设计中的一种重要思想，它通过将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解，以避免计算重复的子问题，从而解决最优化问题。下面我们将通过费氏数列的例子来深入了解动态规划的基本思想和解决方法。 费氏数列是由13世纪的意大利数学家Leonardo Fibonacci发现的，它是一个以0、1开始，之后的每一项等于前两项之和的数列。这个数列有很多特性，如前两个数相加等于第三个数，前一个数除以后一个数越往后越无限接近于0.618（黄金分割），相邻的两个比率必是一个小于0.618一个大于0.618，后一个数除以前一个数越往后越无限接近于1.618等。 在解决费氏数列问题时，我们可以使用递归形式的算法，如procedure Fib(n)，它可以简洁、容易书写和调试。但是，这种方法有一个缺点，即效率低下。使用直观的方式分析，我们可以看到存在大量重复计算，使用时间复杂性的方式分析，我们可以看到时间复杂度为输入规模的指数形式。当n=100时，用递归求解的时间T(100)≈3.53×10^20,若每秒计算10^8次，需111,935年！ 为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法，借助于变量存储中间计算结果，消除重复计算。代码片断如下： f1 ← 1 f2 ← 1 for i ← 3 to n result ← f1+f2 f1 ← f2 f2 ← result end for return result 这个方法的时间复杂度为O(n)，大大提高了计算效率。 动态规划的基本思想是将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解以避免计算重复的子问题。基本步骤包括： –找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 –递归地定义最优值。 –以自底向上的方式计算出最优值。 –根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 矩阵链相乘也是一个使用动态规划解决的问题。给定n个连乘的矩阵M1˙M2…Mn-1˙Mn，问题是问所需要的最小乘法。 动态规划是解决费氏数列和矩阵链相乘等问题的重要方法，它可以通过将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解，以避免计算重复的子问题，从而提高计算效率。