弗洛伊德算法的C++实现及邻接矩阵构建方法

弗洛伊德算法是一种用于寻找给定加权图中所有顶点对之间最短路径的算法。它由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）在1962年提出。此算法可以处理包含正权重和负权重边的图，但不允许图中存在负权重循环。下面是根据给定文件信息详细说明的知识点： 1. **图的表示方法**： - 文件中使用了邻接矩阵的表示方式，这是一种将图中的顶点和边以矩阵的形式表示出来的方法。其中，矩阵的行和列分别代表图中的顶点，矩阵元素表示对应顶点之间的权值（边的权重）。如果两个顶点之间没有直接的边连接，则权值可以设为一个无穷大值（如文件中定义的INFINITY，即32767）。 2. **Floyd算法的基本思想**： - Floyd算法是基于动态规划的原理，它使用一个二维数组来存储中间结果（即最短路径的权值），逐步通过考虑新增加一个中间顶点来更新所有顶点对之间的最短路径长度。 3. **算法过程**： - Floyd算法初始化一个距离矩阵D，该矩阵初始时和输入的邻接矩阵相同。算法的每一步都尝试通过引入一个额外的中转顶点k来更新所有顶点对(i, j)的最短路径。如果通过中转顶点k的路径比原来直接的路径短，则更新距离矩阵D[i][j]的值。 4. **伪代码描述**： ``` procedure Floyd-Warshall: let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity) for each vertex v dist[v][v] ← 0 for each edge (u,v) dist[u][v] ← weight(u,v) // the weight of the edge (u,v) for k from 1 to |V| for i from 1 to |V| for j from 1 to |V| if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j] ``` - 在这段伪代码中，dist数组存储了所有顶点对之间的最短路径权值。算法首先初始化dist数组，对于每个顶点v，dist[v][v]为0。然后，对每条边(u,v)，更新dist[u][v]为边的权重。接下来，对于每对顶点i和j，通过检查是否通过顶点k可以得到更短的路径来更新dist[i][j]。 5. **代码实现**： - 文件中给出了C++语言实现的Floyd算法的代码框架，其中包含了创建图的邻接矩阵、初始化邻接矩阵以及一个未完全实现的`main`函数。`CenterVex`函数用于计算和打印图的中心顶点（即最短路径算法中的一个应用），而`CreateAdjGraph`函数用于建立图的邻接矩阵并初始化图的信息。 6. **图的中心顶点**： - 在图论中，中心顶点是这样一个顶点，由它出发到达图中所有其他顶点的最短路径距离的最大值最小。在Floyd算法中计算中心顶点的一个有效方法是，在得到所有顶点对之间的最短路径后，比较每个顶点对于其它所有顶点的最短路径长度，取使距离之和最小的那个顶点作为中心顶点。 7. **C++语言特性**： - 文件中的代码使用了C++语言特有的输入输出流（iostream）、动态内存分配（new）等特性。代码还包含了iostream.h库，但在现代C++中，已经很少使用.h扩展的头文件，而是直接使用iostream。此外，代码中包含了main函数，但没有完整的返回类型（应该返回int），在现代C++标准中，main函数应返回int。 8. **数据类型和宏定义**： - 代码使用了宏定义INFINITY来表示无穷大的权值。使用char类型的数组存储顶点信息，使用int类型的二维数组存储邻接矩阵，表示顶点数和边数的变量分别使用了int类型。 通过上述知识点，可以得出文件中提供的代码是一个Floyd算法在C++中的实现框架。代码通过定义图的结构、构建邻接矩阵、计算最短路径以及寻找中心顶点的功能，来展示Floyd算法在处理图相关问题时的应用。由于代码并未完全实现（例如main函数的完整性和CenterVex函数的实现），所以代码只是一个概念性的说明，并不构成完整的可运行程序。