MATLAB数值计算：最小二乘法与曲线拟合

在《数值计算与MATLAB：最小二乘法》一章中，我们探讨了数值计算领域中的一个重要概念——最小二乘法（Least Squares）。最小二乘法是解决过确定或不完全确定系统方程的一种常用近似方法。在实际应用中，我们并不追求精确解，而是寻求使残差平方和达到最小化的解。这个方法具有重要的统计解释，如果对底层误差分布做出适当的概率假设，最小二乘法会产生最大似然估计的结果，即使这些假设并不成立，长期实践中已证明它仍然能提供有用的解决方案。 对于线性最小二乘问题，计算技术主要依赖于正交矩阵分解。这在模型建立和曲线拟合中有广泛应用。例如，设\( t \)为自变量，\( y(t) \)是我们想要近似的一个未知函数。如果我们有m个观测值，即在特定时间点\( t_i \)处测得的\( y \)值： \[ y_i = y(t_i), \quad i = 1, \ldots, m \] 我们可以通过构建一个包含nb个基函数的线性模型来逼近\( y(t) \)： \[ y(t) \approx \sum_{j=1}^{n} c_j \phi_j(t), \] 这里的\( c_j \)是待求的系数，\( \phi_j(t) \)是基函数。为了找到最佳的\( c_j \)值，我们会使用最小二乘准则，通过求解一个线性系统的优化问题，如求解一个最小化残差平方和的矩阵方程。在这个过程中，正交矩阵分解（如QR分解、LU分解或奇异值分解）被用来简化计算，并确保结果的有效性和稳定性。 正交基的选择对拟合效果至关重要，它们可以是多项式、三角函数或其他形式的函数。通过最小化残差的平方和，我们可以得到一组参数估计，这些估计不仅在统计上具有意义，而且在工程和科学应用中提供了可靠的近似解。 MATLAB作为强大的数值计算工具，提供了丰富的函数库和算法支持来处理最小二乘问题。通过熟练掌握这些技术，用户可以在数据分析、信号处理、机器学习等领域实现高效而精确的模型构建和参数估计。