栈实现的加减乘除四则混合运算求值

在计算机科学中，表达式求值是编译原理和程序设计中的一个基础问题。表达式求值通常指的是计算一个数学表达式的值，其中可以包括变量、常数和运算符。加减乘除混合运算涉及的是基本的算术操作，而括号的使用则引入了操作的优先级。在本主题中，我们将会详细探讨如何利用栈（Stack）这种数据结构来实现对一个包含加减乘除以及括号的表达式进行求值的算法。 首先，我们来定义一下这个问题。给定一个算术表达式，该表达式可能包含整数、浮点数、四则运算符（+，-，*，/）以及括号，我们的目标是计算出这个表达式的最终结果。 ### 栈的基本概念 栈是一种后进先出（LIFO, Last In First Out）的数据结构，也就是说最后进入栈的元素将是最先被取出的元素。在表达式求值的过程中，我们可以利用栈来存储操作数（数字）和运算符。 ### 表达式求值的步骤 #### 1. 词法分析（Tokenizing） 在进行求值之前，我们通常需要对表达式进行词法分析，将整个表达式分割成一个个可以处理的单元，这些单元通常被称为tokens。tokens可以是数字、运算符或者括号。 #### 2. 中缀表达式转换为后缀表达式（Reverse Polish Notation, RPN） 由于直接在中缀表达式上进行计算比较复杂，通常我们会将中缀表达式转换成后缀表达式。在后缀表达式中，运算符位于其运算对象之后，例如，中缀表达式“(1 + 2)”转换为后缀表达式是“1 2 +”。 #### 3. 使用栈进行后缀表达式的求值 一旦我们将中缀表达式转换为后缀表达式后，我们就可以使用一个或两个栈来进行求值了。一个栈用于存储操作数（称为操作数栈），另一个栈用于存储运算符（称为运算符栈）。 下面是使用栈进行后缀表达式求值的基本算法步骤： - 从左至右扫描后缀表达式中的每个token。 - 若遇到操作数，直接将其压入操作数栈。 - 若遇到运算符，从操作数栈中弹出所需数量的操作数（根据运算符是单目还是双目运算符），执行运算，然后将结果压入操作数栈。 - 若遇到左括号，直接将其压入运算符栈。 - 若遇到右括号，则依次从运算符栈中弹出运算符并执行运算，直到遇到左括号为止，这时左括号仅弹出不执行运算。 - 当整个后缀表达式扫描完毕后，如果表达式是合法的，则操作数栈顶元素即为表达式的结果。 ### 加减乘除混合运算与栈的运用 在进行加减乘除混合运算时，需要注意运算符的优先级。乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算则具有最高优先级。我们可以通过下面的规则来确定运算符之间的优先关系： - 比较运算符栈顶的运算符与当前扫描到的运算符的优先级。 - 如果栈顶运算符的优先级较高，则将操作数栈顶的两个操作数弹出，执行栈顶运算符的运算，并将结果压入操作数栈。重复这个过程直到当前运算符优先级较高。 - 当前运算符优先级较高时，将当前运算符压入运算符栈。 - 如果扫描到表达式的末尾，需要继续执行运算符栈中剩余的运算符，直到栈空为止。 ### 实现细节 在实现这个算法时，需要考虑运算符的优先级具体规则，以及如何处理可能的异常情况，例如不匹配的括号、空的栈以及无效的表达式。 ### 结论 表达式求值是一个经典的问题，在编译器设计、脚本语言、计算器程序等领域有着广泛的应用。使用栈结构可以非常有效地处理包含括号和多种运算符的复杂表达式，而且算法的扩展性好，易于理解和实现。掌握这种基于栈的算法，对于学习更高级的编程概念和技术具有重要的意义。