基于Matlab实现Fisher算法的详细指南

### Fisher算法简介 Fisher算法，又称为Fisher线性判别分析（Fisher Linear Discriminant Analysis，简称FLDA），是一种经典的线性分类方法，由罗纳德·艾尔特·费舍尔（Sir Ronald Aylmer Fisher）于1936年提出。该算法的目标是在高维数据空间中寻找一个线性组合，该线性组合能最好地区分不同类别的数据点，即最大化类别间的距离，同时最小化同类数据点的离散度。 ### 算法步骤 Fisher算法的基本步骤如下： 1. **数据准备**：准备训练数据集，包括多个类别的数据样本。 2. **样本中心化**：计算每一类的均值向量，并将数据集中的所有样本减去对应类别的均值向量，以达到中心化的效果。 3. **计算类间离散度矩阵和类内离散度矩阵**： - **类间离散度矩阵**（Between-class Scatter Matrix）：反映了不同类别之间的可分性。 - **类内离散度矩阵**（Within-class Scatter Matrix）：反映了同类样本的分布紧凑度。 4. **求解最佳投影方向**：通过求解广义特征值问题来寻找最佳投影方向，即最大化类间离散度矩阵与类内离散度矩阵的比值。 5. **特征提取与分类**：将数据投影到求得的最佳方向上，形成新的特征空间，在新的特征空间中进行分类。 ### MATLAB实现 在MATLAB环境中实现Fisher算法，需要按照以下步骤编写代码： #### 1. 数据准备 首先，需要定义或者获取训练数据集和测试数据集，数据集应包含多个特征以及对应的目标类别标签。 ```matlab % 假设有两个类别，每个类别有多个样本 X1 = [样本数据]; % 第一类样本数据 X2 = [样本数据]; % 第二类样本数据 y = [类别标签]; % 每个样本对应的目标类别标签，例如1和2 ``` #### 2. 计算均值和中心化数据 计算每个类别的均值向量，并对数据进行中心化处理。 ```matlab mean1 = mean(X1); % 计算第一类的均值向量 mean2 = mean(X2); % 计算第二类的均值向量 X1_centered = X1 - mean1; % 第一类数据中心化 X2_centered = X2 - mean2; % 第二类数据中心化 ``` #### 3. 计算离散度矩阵 计算类间离散度矩阵和类内离散度矩阵。 ```matlab Sb = size(X1_centered, 1) * (mean1 - mean2) * (mean1 - mean2)'; % 类间离散度矩阵 Sw = X1_centered' * X1_centered + X2_centered' * X2_centered; % 类内离散度矩阵 ``` #### 4. 求解广义特征值问题 通过求解广义特征值问题，找到最佳投影方向。 ```matlab % 求解广义特征值问题 [V, D] = eig(Sb, Sw); [maxValue, maxIndex] = max(diag(D)); w = V(:, maxIndex); % 最佳投影方向 ``` #### 5. 特征提取与分类 将训练数据和测试数据投影到最佳方向，然后根据投影结果进行分类。 ```matlab % 特征提取 X1_projected = X1 * w; X2_projected = X2 * w; % 分类器设计 % 假设投影后两类样本的均值分别为m1和m2，方差分别为s1^2和s2^2 m1 = mean(X1_projected); m2 = mean(X2_projected); s1 = std(X1_projected); s2 = std(X2_projected); threshold = (m1 + m2) / 2; % 设定一个阈值，通常取两个类别均值的中点 % 判别函数 function g = discriminant_function(x, w, threshold) y = (x * w - threshold) / (0.5 * (s1 + s2)); g = 1 / (1 + exp(-y)); end % 分类 classified = zeros(size(y)); for i = 1:length(y) if discriminant_function(X(i), w, threshold) > 0.5 classified(i) = 1; else classified(i) = 2; end end % 比较预测类别和实际类别，计算准确率 accuracy = sum(classified == y) / length(y); ``` ### 总结 Fisher算法因其简洁性和效率在模式识别、机器学习和统计分析中得到广泛应用。在MATLAB中，可以通过矩阵运算和线性代数函数来方便地实现该算法。算法的关键在于如何有效计算类间离散度矩阵和类内离散度矩阵，以及如何求解最佳投影方向。通过上述步骤，我们可以将高维数据映射到一维空间，实现有效的分类。 注意：本文中提供的是一个简化的示例，实际应用中，数据集通常更为复杂，并且需要进行数据预处理、特征选择和模型验证等步骤。此外，对于多类别问题，需要进行相应的扩展，计算所有类别之间的离散度矩阵，并采用多类别分类策略。