卷积网络理论基础：卷积运算和神经网络

卷积网络理论 卷积网络是一种专门用来处理具有类似网络结构的数据的神经网络，例如时间序列数据和图像数据。卷积网络指至少在网络的一层中使用卷积运算来替代一般的矩阵乘法运算的神经网络。 卷积运算是对两个实变函数的一种数学运算。设𝑥与𝑤是R上的两个可积函数，对于积分：𝑠(𝑡)=∫𝑥(𝑎)𝑤(𝑡−𝑎)𝑑𝑎，称该运算为卷积。卷积运算常用星号表示：𝑠(𝑡)=(𝑥∗𝑤)(𝑡)。 在卷积网络的术语中，卷积的第一个参数（函数𝑥）通常叫做输入（input），第二个参数（函数𝑤）叫做核函数（kernelfunction）。输出有时被称为特征映射（featuremap）。 定义离散形式的卷积运算：𝑠(𝑡)=(𝑥∗𝑤)(𝑡)=∑∞𝑎=−∞ 𝑥(𝑎)𝑤(𝑡−𝑎)。 在机器学习的应用中，输入通常是多维数组的数据，而核通常是由学习算法优化得到的多维数组的参数。我们把这些多维数组叫做张量。 卷积运算可以在多个维度上进行：例如在二维空间中，设输入为𝐼，二维核函数为𝐾，二维卷积运算：𝑆(𝑖,𝑗)=(𝐼∗𝐾)(𝑖,𝑗)=∑𝑚 ∑𝑛 𝐼(𝑚,𝑛)𝐾(𝑖−𝑚,𝑗−𝑛)。 卷积是可以交换（commutative）的，上式可等价写作：𝑆(𝑖,𝑗)=(𝐾∗𝐼)(𝑖,𝑗)=∑𝑚 ∑𝑛 𝐼(𝑖−𝑚,𝑗−𝑛)𝐾(𝑚,𝑛)。 卷积运算可交换性出现是因为将核相对输入进行了翻转（flip）。我们将核翻转的唯一目的是实现可交换性。许多神经网络库会实现一个相关的函数，称为互相关函数（cross-correlation），和卷积运算几乎一样但并没有对核进行翻转：𝑆(𝑖,𝑗)=(𝐼∗𝐾)(𝑖,𝑗)=∑𝑚 ∑𝑛 𝐼(𝑖+𝑚,𝑗+𝑛)𝐾(𝑚,𝑛)。 在机器学习中，学习算法会在核合适的位置学得恰当的值，所以一个基于核翻转的卷积运算的学习算法所学习到的核，是对未进行翻转的算法学得的核的翻转。 在机器学习中，卷积经常和其他函数一起使用，无论卷积运算是否对它的核进行翻转，这些函数的组合通常是不可交换的。 卷积网络的应用非常广泛，例如图像识别、自然语言处理、语音识别等等。卷积网络的优点是可以学习到数据中的空间结构和时间结构，且可以处理大量的数据。