二分查找与二叉排序树在数据结构中的应用

在探讨合肥工业大学数据结构试验七查找的知识点之前，首先需要了解数据结构中查找算法的基本概念。查找算法是用于在数据集合中检索特定元素的操作。在本实验中，核心内容围绕二分查找、二叉排序树及其操作。 知识点一：二分查找算法 二分查找，也称为折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。其基本思想是将数组分成两半，比较中间元素与目标值，根据比较结果决定是继续在左半部分查找还是右半部分查找，每次查找都将搜索区间缩小一半。 实验要求的第一项要求对给定数据表实施二分查找，并记录每次比较的元素下标，说明查找过程。为了实现二分查找，需要理解以下几点： 1. 初始化查找区间：在有序数组中，左边界low设置为0，右边界high设置为数组最后一个元素的下标。 2. 计算中间位置：使用公式mid = low + (high - low) / 2来找到中间下标mid。 3. 比较中间元素与目标值：如果中间元素等于目标值，则查找成功；如果中间元素小于目标值，则调整下界low = mid + 1；如果中间元素大于目标值，则调整上界high = mid - 1。 4. 循环查找：重复上述步骤，直到low > high，表示查找失败。 二分查找的判定树能够清晰地展现查找过程中的决策路径，树的每个节点代表一次比较操作，左子树代表与左子区间比较，右子树代表与右子区间比较。 知识点二：二叉排序树 二叉排序树（Binary Search Tree，简称BST），又称为二叉查找树、二叉搜索树，是一种特殊形态的二叉树，它具有以下性质： 1. 若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。 2. 若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。 3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉排序树。 4. 没有键值相等的节点。 在本实验中，设计出在二叉排序树中插入节点的算法是第二项要求。插入节点的基本思想是： 1. 若二叉排序树为空，直接将新节点作为根节点插入。 2. 若二叉排序树不为空，将新节点作为叶子节点插入。 3. 插入后，如果破坏了二叉排序树的性质，则需要通过旋转等操作进行调整。 构建二叉排序树的算法则是将多步插入操作连续执行，将数组中的所有元素依次插入树中。 知识点三：二叉排序树的查找和删除操作 查找指定值的节点，可以在二叉排序树中从根节点开始进行： 1. 从根节点出发，若目标值与当前节点值相等，则查找成功。 2. 若目标值小于当前节点值，则在左子树中继续查找。 3. 若目标值大于当前节点值，则在右子树中继续查找。 4. 重复上述步骤，直到找到目标值或查找路径为空，表示查找失败。 删除特定值的节点，在二叉排序树中操作较为复杂： 1. 如果被删除节点是叶子节点，直接删除。 2. 如果被删除节点只有左子树或只有右子树，则用其子树替换被删除节点。 3. 如果被删除节点有两个子节点，需要找到其右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点），用该节点替换被删除节点，然后删除原位置的最小节点。 知识点四：平衡二叉排序树（AVL树） 平衡二叉排序树是一种自平衡的二叉搜索树，其中任何节点的两个子树的高度最多相差1。当进行插入或删除节点操作后，若树失去平衡，则需要通过旋转操作来恢复平衡。 本实验的最后要求是构造一棵平衡的二叉排序树。对于给定的有序数组，可以使用如下策略： 1. 递归地将数组分成两半，先构造左右子树，再将根节点设置为数组中间的元素。 2. 递归地进行这个过程，直到子数组为空或者只有一个元素。 3. 对构建完成的树进行平衡处理，根据需要进行旋转操作，以保证所有节点的左右子树高度差不超过1。 完成这些算法设计后，通过编码实现并测试这些算法，可以加深对查找算法和二叉树操作的理解。实验报告应该详细记录算法的设计思路、代码实现以及运行结果分析，以确保实验目标的达成。