模形式与矩阵补全：上同调观与奇异值阈值算法

"上同调观模形式-svt：a singular value thresholding algorithm for matrix completion" 本文档似乎是一个关于模形式的学术著作的部分内容，由李文威撰写。模形式是数学，特别是数论和复分析领域的一个重要概念，它们是具有特定对称性的复值函数，通常与椭圆曲线、模曲线和代数几何有密切联系。文档分为多个章节，详细介绍了模形式的基础知识、案例研究、解析理论以及Hecke算子等相关内容。 在第一章“基本定义”中，作者阐述了复平面上的变换、圆盘模型、线性分式变换的不动点、同余子群、尖点、基本区域和整权模形式的概念。这些基本概念为后续章节奠定了基础。 第二章“案例研究”深入探讨了具体数学对象，如Γ函数、Riemann ζ函数、Eisenstein级数以及与模形式相关的特殊函数，如E2、η、Δ和𝑗函数。这些研究有助于理解模形式的性质和应用。 第三章“模曲线的解析理论”涉及模曲线的复结构、尖点处理、Siegel定理、紧化、可公度性、算术子群和四元数等。这些内容揭示了模曲线的复几何和代数结构，并引入了模形式的更一般定义。 第四章“维数公式与应用”讨论了模形式空间的维数计算，包括亏格公式和权为偶数的模形式的维数公式，以及一些应用示例。此外，还涉及亚纯模形式的存在性和奇数权模形式的维数公式。 第五章“Hecke算子通论”介绍了一种重要的操作工具，Hecke算子，它是研究模形式的重要手段。这里涵盖了双陪集与卷积、双陪集代数、与Hermite内积的关系，以及模形式如何与Hecke算子相互作用。特别地，讨论了SL(2, ℤ)情形下的Hall代数和特征形式的概念。 第六章“同余子群的Hecke算子”进一步细化了Hecke算子的应用，特别是针对特定同余子群的情况。菱形算子、𝑇𝑝算子、一般的𝑇𝑛算子以及旧形式和新形式的概念被提出，这些概念对于理解和分类模形式的结构至关重要。 这份文档提供了一个全面而深入的模形式教程，覆盖了从基本概念到高级理论的各种主题，适合于对模形式感兴趣的数学学者或研究人员。通过学习，读者可以了解模形式的几何背景、解析性质以及它们在数论中的应用。