线性代数面试宝典：从基础到逆矩阵

"这篇文档是2021年保研生整理的线性代数面试题集合，专注于线性代数的基本概念和理论，适用于保研面试复习。" 线性代数是数学的一个核心分支，它研究向量、矩阵、线性变换以及它们之间的关系。以下是对线性代数中一些关键概念的详细解释： 1. **标量（Scalar）**：标量是最基础的数学对象，是一个单独的数，仅具有大小。 2. **向量（Vector）**：向量是由n个数组成的有序数组，具有大小和方向。它可以表示在空间中的位置或运动的方向和速度。 3. **矩阵（Matrix）**：矩阵是一组排列成矩形的向量，可以表示多个线性变换的组合，如图像的缩放、旋转和平移。 4. **张量（Tensor）**：张量是多维数组，其阶数表示数组的维度。标量是0阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，更高阶的张量用于描述复杂物理现象，如引力场或电磁场。 5. **行列式（Determinant）**：行列式是一个函数，它将n阶方阵映射到一个实数值。从线性变换的角度看，行列式的绝对值反映了空间经过矩阵变换后的拉伸或压缩程度。若行列式为1，表示变换保持体积不变；为0则表示至少一维被完全压缩，变换不可逆。 6. **体积/面积/超体积角度**：行列式也可以理解为由矩阵的行或列向量构成的几何体的有向体积，二阶行列式表示面积，三阶表示体积，更高阶表示超体积。 7. **矩阵的迹（Trace）**：矩阵的迹是矩阵主对角线上元素的和，它代表了矩阵所对应线性变换的旋转或伸缩效果的总和，也可以理解为平行多面体的有向周长。 8. **转置矩阵（Transpose）**：转置矩阵是通过将原矩阵的行变为列，列变为行得到的新矩阵，它在几何上表示对称或翻转操作。 9. **逆矩阵（Inverse Matrix）**：如果两个矩阵相乘结果为单位矩阵，这两个矩阵互为逆矩阵。逆矩阵的作用是撤销原始的线性变换。逆矩阵存在的条件是行列式不为0，矩阵满秩，且矩阵的列向量组线性无关。 10. **逆矩阵求解**：逆矩阵可以通过初等行变换或伴随矩阵来求解。初等行变换法是将矩阵和单位矩阵一起变换，使矩阵变为单位矩阵，右侧矩阵即为逆矩阵。伴随矩阵法是计算矩阵的伴随矩阵后除以其行列式值。 这些基本概念和理论构成了线性代数的基础，对于理解和应用线性代数在科学、工程、计算机科学等领域都至关重要，特别是在保研面试中，这些知识往往是考察的重点。