矩阵论入门：线性空间与基变换

"该资源是一份关于矩阵论的课程资料，重点关注线性空间与线性变换，特别是基变换和坐标变换。课程由杨明教授主讲，内容涵盖矩阵理论的基本概念，包括矩阵的化简与分解，以及在不同领域的应用。教材推荐了杨明和刘先忠合著的《矩阵论》（第二版）。课程计划共48学时，涵盖了从基础到高级的矩阵论主题，并建议学生具备线性代数背景知识，同时推荐使用MATLAB或MAPLE等计算工具辅助学习。课程考核以卷面成绩为主，结束时进行考试。" 矩阵论是数学的一个核心分支，它主要研究矩阵的性质和应用。在这个课程的第一章中，通常会介绍线性空间的基本概念，如向量、线性组合、线性独立、基和维数。线性空间是由向量和线性运算定义的集合，这些运算包括加法和标量乘法。线性空间中的基是一组能够生成整个空间的向量，任何向量都可以表示为基向量的线性组合。 基变换和坐标变换是矩阵论中的关键概念。基变换涉及到将一个线性空间从一组基换到另一组基的过程。当改变基时，原本在线性空间中的向量会有新的坐标表示。描述这种变换关系的工具是过渡矩阵，它是一个非奇异矩阵，即其行列式不为零，确保了新旧坐标的对应是一一映射。过渡矩阵的每一列表示新基在旧基下的坐标。例如，如果旧基是α1, α2, ..., αn，新基是β1, β2, ..., βn，那么新基向量βi在旧基下的坐标构成了过渡矩阵C的第i列。 在进行基变换时，一个给定向量在线性空间中的坐标会改变，但其在空间中的位置不变。这是因为向量本身并未改变，只是我们用来描述它的坐标参照系发生了变化。基变换公式说明了如何通过过渡矩阵将向量在新旧基下的坐标进行转换。这个公式通常是将旧坐标表示的向量乘以过渡矩阵得到新坐标。 课程的后续章节可能会涉及更深入的矩阵理论，如矩阵的秩、逆、特征值、特征向量、Jordan标准型、Schur分解等。此外，矩阵的分析理论探讨了矩阵函数的概念，而各类矩阵的性质研究则可能涵盖对称矩阵、正交矩阵、Hermitian矩阵等特殊类型的矩阵。矩阵不仅是理论研究的对象，它们在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用，比如在控制系统、图像处理、数据分析等领域。 学习矩阵论不仅需要理解线性代数的基础知识，还可能需要用到MATLAB或MAPLE这样的软件工具来执行矩阵运算和求解线性系统。这门课程的期末考核通过卷面考试进行，强调理解和掌握矩阵理论的核心概念。对于有兴趣深入学习矩阵理论及其应用的学生，除了指定教材外，还有其他参考书可供参考，如余鄂西的《矩阵论》和方保熔等的《矩阵论》。