Fisher判别法在数字识别中的应用研究

Fisher判别法是模式识别和统计学中的一种线性判别技术，其主要目的是将不同的类别数据尽可能清晰地分离开来。这种方法由英国统计学家罗纳德·费舍尔（Ronald Aylmer Fisher）于1936年提出，最初被应用于植物分类领域，之后被广泛应用于多种模式识别问题，尤其是在数字识别领域表现出了良好的性能。 在Fisher判别法中，关键思想是找到一个或多个判别函数，这些函数能够最大化不同类别之间的距离，同时最小化同类数据点之间的距离。具体而言，Fisher判别法涉及以下几个步骤： 1. **数据准备**：首先需要准备数据集，这通常包含多个样本和它们对应的类别标签。在数字识别问题中，这些样本可能是手写的数字图片，经过预处理和特征提取后，每个样本将被转换为一系列特征向量。 2. **计算类内散度矩阵和类间散度矩阵**：定义类内散度矩阵（Within-class Scatter Matrix）和类间散度矩阵（Between-class Scatter Matrix）。类内散度矩阵反映了同一类样本内部的分布情况，而类间散度矩阵则反映了不同类别之间的分布差异。具体计算公式如下： - 类内散度矩阵 \(S_W\) 可以表示为所有类别内部数据的散度之和： \[ S_W = \sum_{i=1}^{c}S_i = \sum_{i=1}^{c}\sum_{x_j \in D_i}(x_j - m_i)(x_j - m_i)^T \] 其中 \(c\) 表示类别的总数，\(D_i\) 是第 \(i\) 类样本集，\(m_i\) 是第 \(i\) 类的均值向量，\(x_j\) 是 \(D_i\) 中的样本向量。 - 类间散度矩阵 \(S_B\) 则表示为所有类别均值与总体均值之间差异的加权和： \[ S_B = \sum_{i=1}^{c}N_i(m_i - m)(m_i - m)^T \] 其中 \(N_i\) 是第 \(i\) 类的样本数，\(m\) 是所有样本的总体均值向量。 3. **求解最优投影方向**：通过求解广义特征值问题来找到一个最优的投影方向，这个方向将使得类间散度矩阵与类内散度矩阵的比值最大化。即，求解下面的广义特征值问题： \[ S_Bw = \lambda S_Ww \] 其中 \(w\) 是投影轴（权重向量），\(\lambda\) 是对应的特征值。最优投影方向 \(w\) 对应于最大的特征值。 4. **特征提取与分类**：将原始数据集中的样本投影到找到的最优方向上，得到一组新的特征值。这组新特征值通常具有更好的分类性能，因为它们最大化了类间差异，最小化了类内差异。然后，就可以使用这些新特征进行分类。 在数字识别问题中，Fisher判别法可以有效地识别出具有不同特征的手写数字。例如，可以对数字图像的像素点进行特征提取，获得特征向量，然后通过Fisher判别法找到能够最好区分不同数字（类别）的方向。得到这些特征后，可以使用简单的分类器，比如最近邻分类器或线性分类器，来识别新的手写数字图像。 Fisher判别法的优点在于它是一种线性方法，计算简单且高效，尤其适用于高维数据，并且特别适合于类别重叠较大的情况。然而，它也有局限性，比如假设数据符合高斯分布，且类别之间的方差相等，这在实际情况中可能不总是成立。因此，在使用Fisher判别法之前，可能需要对数据进行预处理，比如进行特征的标准化或归一化，以满足方法的假设条件。 总结来说，Fisher判别法在数字识别等模式识别任务中提供了一个有效的线性判别框架，通过最大化类间距离和最小化类内距离来提高分类性能。它是一个在理论上和实际应用中都非常重要的算法，尤其是对于高维数据和类别重叠较大的情况，其作用不容小觑。