王高雄版《常微分方程》习题解答详解

【标题】: 王高雄版《常微分方程》习题解答 【描述】: 1. 解题过程：求解常微分方程 =2xy，并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解答思路： - 首先识别给定方程的类型，这是一个可分离变量的微分方程。 - 通过移项和分离变量，将方程重写为 =2xdx。 - 对两边分别进行积分操作，得到通解表达式 ln|y|=x^2/2 + C。 - 将通解转换为指数形式，得到 y = e^(x^2/2 + C)。 - 因为原方程 y=0 也是解，所以需要考虑将 y=0 作为特解的情况。 - 利用初始条件 x=0, y=1 求解常数 C，确定特定的常数 C=1。 - 最终得到满足初始条件的特解为 y = e^(x^2/2)。 2. 解题过程：求解微分方程 y dx + (x+1) dy = 0，并求满足初始条件：x=0, y=1的特解。 解答思路： - 识别给定方程的类型，这是一个全微分方程。 - 将原方程重写为 y dx = -(x+1) dy。 - 通过交换积分变量，得到 dy = -dx/(x+1)。 - 对两边积分，得到通解表达式 ln|x+1| = -ln|y| + ln|C|。 - 解出 y 关于 x 的表达式，得到 y = C/(x+1)。 - 确定特定的常数 C，利用初始条件 x=0, y=1 求得 C=e。 - 最终得到满足初始条件的特解为 y = e/(x+1)。 【知识点详细解析】: 1. 可分离变量的微分方程： 可分离变量的微分方程形式通常为 dy/dx = g(x)h(y)，通过将变量分离到等式两边并积分，可以得到通解。对于本例中的方程，通过分离变量和积分操作后得到的通解 y = e^(x^2/2 + C)，可以通过初始条件确定特定的常数 C 值来得到特解。 2. 全微分方程： 全微分方程是一种特殊的微分方程，可以通过积分因子将不完全微分转化为完全微分。本例中的方程 y dx + (x+1) dy = 0，通过找到适当的积分因子，可以将其转化为完全微分方程，并通过积分求得解。本例中的积分因子是 -1/(x+1)，乘以它后使原方程成为关于 x 和 y 的全微分方程，并通过积分得到通解。 3. 初始条件： 在解决微分方程问题时，初始条件是用来确定特解的特定条件。在本例中，初始条件 x=0, y=1 是用来确定通解中常数 C 的值，使得通解满足给定的初始值。这个过程是将通解应用于具体问题，并找到一个符合实际情况的解。 4. 指数函数的应用： 指数函数在解决微分方程问题中扮演了重要角色。在本例中，指数函数被用来将通解表达式 ln|y|=x^2/2 + C 转换为 y = e^(x^2/2 + C)，这使得解的形式更加直观，并容易理解解随变量变化的特性。 5. 常微分方程基础概念： - 微分方程是含有未知函数及其导数的方程，描述了函数、变量和导数之间的关系。 - 常微分方程是在只涉及一个自变量的函数的微分方程。 - 常微分方程根据其形式和求解方法，可以分为若干类型，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程等。 在学习和应用常微分方程的过程中，理解和掌握不同类型微分方程的求解方法是非常重要的。熟练掌握微分方程的基本解法，对于解决实际问题具有关键作用，同时也有助于深入理解函数、微积分以及相关数学领域的知识。