动态规划解决括号匹配问题：最少添加括号

"括号匹配-动态规划基础"这篇文章主要探讨的是一个经典的计算机科学问题，涉及动态规划这一算法在解决字符串中的括号匹配问题。动态规划是一种通过分解复杂问题为更小的子问题并存储子问题的解以避免重复计算，从而求得全局最优解的算法策略。 在给定的字符串中，只有四种括号符号("(", ")", "[", "]")，任务是找到最少需要添加多少对括号，使得所有括号都能够配对。例如，"[]"是匹配的，而"((]"或"[)]"则是不匹配的。这个问题可以通过动态规划来解决，因为存在一个明显的自底向上的结构：从最简单的匹配情况（如单个括号）开始，逐步构建更复杂的匹配状态。 动态规划的关键步骤包括： 1. **状态定义**：在这个问题中，状态可以定义为一个子串，其中的括号是否已经正确配对。状态通常用一个整数数组表示，数组的下标对应子串的长度，每个元素表示以该长度结束的子串是否可以匹配。 2. **状态转移方程**：根据题目描述，我们可以递归地定义状态转移。对于一个子串，如果最后一个字符是左括号，那么需要检查其后面是否有与之匹配的右括号。我们可以定义一个辅助函数，如`isMatched(s)`，来判断子串`s`是否匹配，然后更新状态数组。 3. **递归/自底向上计算**：动态规划通常从最简单的情况（如空串或只有一个括号的子串）开始，然后逐步处理更长的子串，利用之前计算出的子问题结果。通过循环或者栈，避免了重复计算`Fib(n)`这样的递归过程。 4. **构造最优解**：计算出所有可能的子串状态后，可以直接找到状态数组中最后一个元素，即为最少需要添加的括号对数。 5. **记忆化搜索与避免重复**：在实际编程实现中，可以使用记忆化搜索（也称为“备忘录法”）来存储之前计算过的子问题结果，以减少冗余计算，提高算法效率。例如，如文中所示，使用一个大小为`MAX`的数组`F`来存储`Fib(n)`的值，避免了重复计算Fib(3)的值。 总结来说，括号匹配问题通过动态规划得以解决，通过定义状态、状态转移方程、自底向上计算和记忆化搜索等步骤，有效地减少了计算复杂度，找到了最小添加括号对数的解决方案。这种技术在其他多阶段决策优化问题中也有广泛的应用，是算法设计中的重要技巧。