递归多项式与Berlekamp-Massey算法在信息学竞赛中的应用

"斜率比较-ANSI-VITA 62-2016模块化电源标准" 这篇资源讨论了在解决决策单调性问题时使用斜率比较的技术，特别是在ANSI-VITA 62-2016模块化电源标准的背景下。斜率比较是一种策略，用于比较不同决策点的增益，特别是当需要找到使得增益最大或超过特定阈值的决策时。 在描述中，首先介绍了斜率比较的基本公式Ai = fi + i^2/2 + si，其中Ai表示第i个决策点的增益，fi表示基础收益，i^2/2通常代表随着决策点增加的惩罚，si是额外的随机项。对于任何待决策点j，如果对于所有0 ≤ k < i < j，fi + wi, j（其中wi, j是额外的贡献）都大于fk + wk, j，那么可以通过斜率比较来确定最优决策。 为了有效地实现斜率比较，可以使用栈来维护一个斜率递减的上凸壳。在询问特定决策点j时，可以通过二分查找找到第一个斜率不超过j的点，这样可以达到O(N log N)的时间复杂度。进一步优化，可以维护一个指针始终指向当前最优决策点，每次退栈时更新指针。询问时，指针向前移动直到斜率不超过j，总操作次数不超过N，达到O(N)的时间复杂度。 在面对数据修改的情况时，可以将解决方案分为覆盖修改点和不覆盖修改点两类。对于不覆盖修改点的方案，可以分别计算修改前后的答案并通过前缀和后缀和快速得到结果。而对于覆盖修改点的方案，可以采用分治策略，对序列进行预处理并使用斜率优化，使更新答案的时间复杂度降为O(1)。整体时间复杂度仍为O(N log N)。 斜率比较技术在解决某些决策单调性问题时展现出线性时间复杂度的优势，但并不适用于所有这类问题。文中还给出一个简单的例子——NAIPC2016的"Jewel Thief"问题，这是一个背包问题，目标是在不同体积限制下找到最大价值的物品组合。通过将物品按体积分类并利用斜率比较优化，可以有效地找到解决方案。 该资源还提及了IOI2017中国国家候选队论文集中的其他议题，包括数列递归式的研究、线性代数在图匹配中的应用、多项式求和方法、独立集问题探讨以及动态传递闭包问题等，展示了信息学竞赛中的多样化理论和技术。