ACM算法模板集锦：图论、数论、计算几何等必备知识

ACM编程竞赛是国际大学生程序设计竞赛（ACM International Collegiate Programming Contest，简称ACM-ICPC）的简称，是世界上公认的规模最大、水平最高的国际大学生计算机竞赛，其内容涵盖了计算机科学与技术的众多领域，对参赛者的算法和数据结构等基础知识的掌握提出了较高的要求。在竞赛中，参赛者需要运用各种算法解决一系列的编程问题。本篇将详细介绍ACM竞赛中所需的基本算法模板知识点。 ### 一、图论 图论是数学的一个分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。在ACM竞赛中，图论相关的算法是解决网络流、最短路径、图的遍历等类型问题的基础。 - **深度优先搜索（DFS）**：用于遍历或搜索树或图的算法。常用于求解图的连通性问题、拓扑排序和解决某些复杂的搜索问题。 - **广度优先搜索（BFS）**：从根节点开始，逐层向下访问节点直到所有节点被访问过。常用于求解最短路径问题（如单源最短路径问题）。 - **最短路径**：解决顶点间的最短路径问题。常见的算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。 - **最小生成树**：在加权无向图中找到一棵包含所有顶点的树，使得树上边的权值之和最小。常用算法有Prim算法和Kruskal算法。 - **拓扑排序**：对一个有向无环图（DAG）顶点进行排序，使得对于任何一条从顶点u到顶点v的有向边，u都在v之前。 - **强连通分量（SCC）**：在有向图中，如果两个顶点u和v是相互可达的，则称它们属于同一个强连通分量。Tarjan算法和Kosaraju算法是求解强连通分量的常用方法。 ### 二、数论 数论是研究整数性质的数学分支，在ACM竞赛中，掌握基础的数论知识能解决很多与整数相关的问题。 - **欧几里得算法（辗转相除法）**：用于计算两个整数的最大公约数（GCD）。 - **扩展欧几里得算法**：用于求解整数线性同余方程，或在模线性方程组中求解。 - **费马小定理**：如果p是一个质数，a是任何不被p整除的正整数，则a的(p-1)次方减1能被p整除。 - **快速幂取模**：用于快速计算a的b次方对c取模的结果。 - **中国剩余定理（CRT）**：解决一组形如x ≡ a_i (mod n_i)的同余方程组的整数解问题。 - **素数测试**：判断一个大于1的整数n是否为质数。 ### 三、计算几何 计算几何是数学和计算机科学的一个分支，它主要研究几何对象的表示、结构和性质以及算法问题。 - **几何基本操作**：点、线段、圆、多边形等基本几何对象的表示和基本运算。 - **凸包**：计算一组点的凸包，常用算法有Graham扫描和Jarvis步进。 - **点在多边形内判断**：判断一个点是否在多边形内部。 - **线段相交问题**：判断两条线段是否相交，相交点的坐标计算。 - **最近点对问题**：给定一组点，找出距离最近的一对点。 - **区间树和段树**：解决线段上的区间查询和更新问题。 ### 四、位运算 位运算在计算机科学中是一个重要的概念，指的是直接对整数的二进制表示进行操作。 - **与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）**：基本的位运算操作。 - **移位操作**：左移和右移，用于快速计算乘除2的幂。 - **位运算技巧**：利用位运算可以高效地解决整数运算和二进制表示问题。 ### 五、组合数学 组合数学是数学的一个分支，主要研究有限集合的组合结构，以及如何将对象进行组合或排列的问题。 - **排列组合**：研究对象的选择和排列方法。 - **二项式定理**：表达组合数的一种方式，用于解决二项式展开问题。 - **递推关系和生成函数**：解决序列的递推和组合计数问题。 - **图的着色**：图论中的一个组合问题，即给图的节点染色的最小颜色数问题。 在ACM竞赛中，上述算法模板是解决问题的基础，参赛者需要熟练掌握这些算法模板，并能灵活地应用它们解决实际问题。文件列表中的“数论模板2次.cpp”、“计算几何.doc”、“图论.doc”、“组合数学.doc”、“数论及数学.doc”、“位运算.doc”、“高斯消元.doc”、“kmp算法.doc”、“高精度.doc”、“中国剩余定理.txt”文件，很可能是关于上述算法模板的具体实现和解释，用于帮助参赛者更好地理解和应用这些算法。