C语言实现GMRES算法解决大型稀疏对称矩阵问题

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下载需积分: 50 | 9KB | 更新于2024-09-04 | 44 浏览量 | 举报 3 收藏

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"该资源提供了一个使用C语言实现的GMRES（Generalized Minimum Residual，广义最小残差）算法程序。GMRES是求解线性方程组Ax=b的有效迭代方法，尤其适用于大型稀疏对称矩阵。在内存有限的情况下，通过Lanczos方法减少三对角化的内存需求。提供的代码包括了GMRES所需的主要数据结构和计算过程。" 在数值线性代数中，GMRES算法是一种非预设迭代法，用于求解大型线性系统Ax=b中的x，其中A是可能非对称的矩阵，b和x是向量。当A是稀疏矩阵时，GMRES特别有用，因为它避免了形成矩阵A的完全多重对角化，从而节省了大量内存。以下是GMRES算法的关键步骤： 1. **初始化**：设置初始猜测值x0，计算初始残差r0 = b - Ax0，以及初始向量v1 = r0。 2. **Krylov子空间构建**：通过反复乘以A和上一步的向量来构建Krylov子空间K_m(A,r0)，其中m是迭代次数。这个过程涉及到Arnoldi分解，即AV_k = V_{k+1}H_k，其中V_k是包含Krylov向量的矩阵，H_k是Hessenberg矩阵。 3. **Hessenberg矩阵H_k**：H_k是对角线下方仅有一行非零的矩阵，由A作用在Krylov子空间的向量上得到。在C代码中，H_k的存储是压缩的，只存储非零元素。 4. **最小化问题**：在每次迭代中，寻找Hessenberg矩阵H_k上的最小残差向量，即求解最小化问题 ||r_k|| = ||b - Ax_k||，其中x_k是Krylov子空间中的一点，使得Ax_k最接近b。这可以通过QR分解或Householder变换解决。 5. **更新解向量**：找到的最小残差向量对应于H_k的最小余弦值，利用这一信息更新解x_k。 6. **迭代终止**：如果达到预定的精度或者达到最大迭代次数m，算法停止，否则返回步骤2，继续下一次迭代。在提供的C代码中，可以看到以下关键数据结构和函数： - `gmres` 函数是GMRES的核心实现，接受矩阵A的乘法操作、初始向量x、右端项b、迭代次数R、矩阵A的数据和索引结构等参数。 - `y`, `t`, `w`, `g`, `V`, `H`, `h`, `s`, `c`, `h1` 等是存储中间计算结果的动态分配数组。 - `omega_data`, `omega_indices`, `omega_ptr` 等用于存储与Arnoldi分解相关的数据。代码中使用了动态内存分配来创建必要的数组，并通过指针传递这些数组到函数内部进行计算。需要注意的是，实际应用时需要根据实际问题的规模调整迭代次数m和矩阵A的特性来优化性能。此外，代码可能需要进一步完善，如添加错误检查、输入验证以及适当的内存释放等。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

void gmres(double *r, double *x ,double *b,int R,double *data,int *indices,int *ptr)
{
int i,j,k,d,f,m=5;
double *t,*y,*h1,*w,beta=0,*V,*g,*H,*h,*s,*c,*omega_data,*omega1_data,*inv_H_data;
int *omega_indices,*omega_ptr,*omega1_indices,*omega1_ptr,*inv_H_indices,*inv_H_ptr;
y = (double*)malloc(sizeof(double) * m);
t = (double*)malloc(sizeof(double) * R);
w = (double*)malloc(sizeof(double) * R);
g = (double*)malloc(sizeof(double) * (m+1));
V = (double*)malloc(sizeof(double) * R*(m+1));
H = (double*)malloc(sizeof(double) * ((m+3)*m)/2);
h = (double*)malloc(sizeof(double) * (m+1));
s = (double*)malloc(sizeof(double) * (m+1));
c = (double*)malloc(sizeof(double) * (m+1));
h1 = (double*)malloc(sizeof(double) * 2);
omega1_data = (double*)malloc(sizeof(double) * (((m+3)*m)/2+m+1));
omega1_indices = (int*)malloc(sizeof(int) * (((m+3)*m)/2+m+1));
omega1_ptr = (int*)malloc(sizeof(int) * (m+2));
omega_data = (double*)malloc(sizeof(double) * (m+3));
omega_indices = (int*)malloc(sizeof(int) * (m+3));
omega_ptr = (int*)malloc(sizeof(int) * (m+2));
inv_H_data = (double*)malloc(sizeof(double) * (((m+1)*m)/2));
inv_H_indices = (int*)malloc(sizeof(int) * (((m+1)*m)/2));
inv_H_ptr = (int*)malloc(sizeof(int) * (m+1));