MATLAB实现非线性拟合：最小二乘法与常见函数曲线

本资源主要介绍了如何在MATLAB中实现非线性拟合，并通过具体的例子阐述了非线性拟合的基本步骤和方法。 非线性拟合是一种数学方法，用于寻找一个非线性函数，使其能够最好地逼近一组给定的观测数据点。在实际应用中，例如在科学实验或工程问题中，我们常常会遇到非线性关系的数据，这时就需要用到非线性拟合来建立数据间的数学模型。 在MATLAB中，非线性拟合可以通过`inline`函数来定义自定义的非线性模型。首先，我们需要创建一个M文件，定义函数的形式。例如，假设我们有一个形式为 `f(x) = b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))` 的函数，其中`b(1)`, `b(2)`, `b(3)`是待定的参数，`x`是自变量。我们可以通过以下方式定义这个函数： ```matlab fun = inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))','b','x'); ``` 在计算函数值时，如果`x`是一个向量，我们可以使用点乘操作符`. *`来处理矩阵运算。例如，要计算在`x = 0:0.1:1`上的函数值，我们可以这样操作： ```matlab x = 0:0.1:1; y = fun(b, x); ``` 非线性拟合的目标是找到一组参数，使得函数在所有数据点上的误差平方和最小。这通常通过最小二乘法来实现。最小二乘法的优化目标可以表示为： \[ \min_{\hat{f}} \sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2 \] 在实际操作中，我们需要先确定参数的初始值，然后使用MATLAB的优化工具箱（如`lsqcurvefit`函数）来迭代求解最佳参数`b`。求解后，我们可以计算拟合的决定系数`R^2`来评估拟合的效果： \[ R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{f}(x_i))^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2} \] 其中，`\bar{y}`是数据集的平均值。`R^2`越接近1，表示拟合效果越好。 非线性拟合可以应用于多种函数类型，如多项式、指数、对数、幂函数和S形曲线等。例如，常见的S形曲线模型包括罗杰斯蒂（Logistic）模型、龚帕兹（Gompertz）模型、理查德（Richards）模型以及威布尔（Weibull）模型。 通过以上步骤，我们可以用MATLAB进行非线性拟合，从而得到一个与实验数据吻合的数学模型，这在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。