C++三维空间距离计算：点、线、面

在三维空间中计算点与点、点与直线、点与平面的距离是计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）中的常见问题。利用C++语言来实现这些几何计算可以应用于多种场景，如物理模拟、机器人导航、视觉几何处理等。下面将详细介绍如何使用C++来实现这些计算方法。 首先，我们来理解点、直线和平面在三维空间中的数学表达： 1. **点的表示**：一个点在三维空间中可以用三个坐标值来表示，即 P(x, y, z)。 2. **直线的表示**：在三维空间中，直线可以通过两个点来唯一确定，比如直线上一点 P1(x1, y1, z1) 和直线的方向向量 v(dx, dy, dz)，也可以通过参数方程表示为 P(t) = P1 + tv。 3. **平面的表示**：平面可以用一个点和平面的法向量来确定，例如，平面的一个点 P(x, y, z) 和法向量 N(a, b, c)。平面方程可以表示为 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0，其中 (x0, y0, z0) 是平面上一点的坐标。 下面分别介绍如何计算点到点、点到直线、点到平面的距离。 ### 点到点的距离 两个点 P1(x1, y1, z1) 和 P2(x2, y2, z2) 之间的距离可以使用欧几里得距离公式计算： \[ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2} \] 在C++中，可以这样实现： ```cpp #include <cmath> float pointToPointDistance(float x1, float y1, float z1, float x2, float y2, float z2) { return sqrt(pow(x2 - x1, 2) + pow(y2 - y1, 2) + pow(z2 - z1, 2)); } ``` ### 点到直线的距离 一个点 P(x, y, z) 到直线 L 的距离可以通过计算该点到直线的垂线段长度得出。假设直线 L 由点 P1(x1, y1, z1) 和方向向量 v(dx, dy, dz) 确定，点 P 到直线 L 的距离公式为： \[ d = \frac{\left\| (P - P1) \times v \right\|}{\left\| v \right\|} \] 其中 × 表示向量叉乘，|| 表示向量的模（长度）。叉乘将产生一个垂直于两个向量的新向量，其模表示了点到直线的最短距离。 在C++中实现计算点到直线的距离： ```cpp #include <cmath> float pointToLineDistance(float x1, float y1, float z1, float dx, float dy, float dz, float x, float y, float z) { // 计算向量 P1P float vectorP1P_x = x - x1; float vectorP1P_y = y - y1; float vectorP1P_z = z - z1; // 计算向量 P1P 与方向向量 v 的叉乘 float crossProduct_x = dy * vectorP1P_z - dz * vectorP1P_y; float crossProduct_y = dz * vectorP1P_x - dx * vectorP1P_z; float crossProduct_z = dx * vectorP1P_y - dy * vectorP1P_x; // 计算叉乘向量的模 float crossProductNorm = sqrt(crossProduct_x * crossProduct_x + crossProduct_y * crossProduct_y + crossProduct_z * crossProduct_z); // 计算方向向量 v 的模 float vNorm = sqrt(dx * dx + dy * dy + dz * dz); // 计算点到直线的距离 return crossProductNorm / vNorm; } ``` ### 点到平面的距离 给定一个点 P(x, y, z) 和一个平面 π，该平面通过点 P0(x0, y0, z0) 且有法向量 N(a, b, c)。点 P 到平面 π 的距离公式为： \[ d = \frac{\left| a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] 在C++中，实现计算点到平面的距离： ```cpp #include <cmath> float pointToPlaneDistance(float a, float b, float c, float x0, float y0, float z0, float x, float y, float z) { float numerator = fabs(a * (x - x0) + b * (y - y0) + c * (z - z0)); float denominator = sqrt(a * a + b * b + c * c); return numerator / denominator; } ``` 通过这些公式和C++代码片段，我们可以完成三维空间中点与点、点与直线、点与平面的距离计算。这些基础的几何计算对于很多应用来说是不可或缺的，是理解空间关系和实现算法的基础。在实际应用中，它们经常被用于碰撞检测、空间分析、三维图形渲染等领域。理解这些基本概念并能够将它们实现为程序代码，对于程序员来说是一项非常重要的技能。