图的算法讲解：普里姆与克鲁斯卡算法

"本资源主要介绍了图的基本概念和两种典型的最小生成树算法——普里姆(Prim)算法和克鲁斯卡(Kruskal)算法，适用于数据结构导论中的第5章学习。" 在数据结构导论中，图是一种重要的抽象数据类型，它由顶点集V和边集E组成，即Graph=(V,E)。顶点可以标记不同的字符或数字，边可以是有向或无向的。无向图中，每条边用(v,w)表示，而有向图中，每条弧用<v,w>表示，其中v是弧尾，w是弧头。 对于带权的图，我们称之为有向网或无向网，权值通常代表边的代价或距离。子图是指一个图G中的部分顶点和边组成的新的图G'，其中V'⊆V，E'⊆E。 在图中，顶点的度是与之关联的边的数量。对于无向图，顶点的度等于入度加出度；对于有向图，我们区分出度（OD）和入度（ID），顶点的总度等于出度加上入度。完全图是所有顶点间都有边相连的无向图，边的数量e=n(n-1)/2；有向完全图则是每对顶点间都有两条有向边，即e=n(n-1)。 最小生成树是图论中的一个重要概念，用于寻找一个加权图中所有顶点的树形子图，使得这棵树包含图中的所有顶点，并且边的权重之和尽可能小。在资源中提到了两种构造最小生成树的经典算法： 1. **普里姆(Prim)算法**：从一个起始顶点开始，逐步添加边到当前的树中，每次选择与当前树连接的边中权重最小的一条，直到所有顶点都被包含。这个过程可以通过优先队列（如二叉堆）来优化效率。 2. **克鲁斯卡(Kruskal)算法**：按照边的权重从小到大排序，然后逐一检查每条边是否形成环，如果不会形成环则加入到当前的生成树中。为了避免添加形成环的边，可以使用并查集等数据结构来维护边之间的连通性。 这两种算法都是在保证不形成环的前提下，尽可能地选择边来构建最小生成树，但它们的策略不同，普里姆从一个顶点扩展，而克鲁斯卡则是全局优化边的顺序。 拓扑排序是另一种与图相关的操作，主要用于有向无环图(DAG)，它将顶点按其不存在反向边的顺序排列。这两种最小生成树算法在解决实际问题中，如网络设计、运输规划等方面有着广泛应用。理解并熟练掌握这些算法对于学习和应用数据结构至关重要。