2

2

• 1.
  1 Міністерство освіти інауки України Управління освіти і науки Херсонської облдержадміністрації Голопристанське територіальне відділення МАН України Відділення: математика Секція: математика ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ ЧИСЕЛ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ Роботу виконала : Жовнір Ксенія Миколаївна, учениця 9 класу Чорноморської загальноосвітньої школи I-IIIступенів Чорноморської сільської ради, кандидат в дійсні члени МАН Науковий керівник: Кузьма Любов Василівна , учитель математики Чорноморської загальноосвітньої школи I-IIIступенів Чорноморської сільської ради , спеціаліст першої кваліфікаційної категорії Чорноморське-2017
• 2.
  2 ТЕЗИ Назва роботи: «Ознакиподільності чисел та їх застосування» Автор – Жовнір Ксенія Миколаївна, учениця 9 класу Чорноморської ЗОШ I- III ступенів Чорноморської сільської ради Голопристанського району, Херсо- нської області. Науковий керівник – Кузьма Любов Василівна, учитель математики Чорно- морської загальноосвітньої школи I-IIIступенів Чорноморської сільської ради Голопристанського району Херсонської області, спеціаліст першої кваліфіка- ційної категорії • Метою дослідження є узагальнення та систематизація розпорошених знань з теми «Ознаки подільності чисел та їх застосування», порівняння та відбір найбільш лаконічних і раціональних способів, виведення нових алгоритмів доведень подільності двох чисел. • Вперше питання подільності було ґрунтовно висвітлено італійським ма- тематиком Леонардом Пізанським. • В роботі розглядається подільність за останніми числами, рекурентний алгоритм ділення, розбивання числа на одно, двох і трьохзначні грані справа на ліво. • Метод розбиття на нерівномірні грані має єдиний недолік ― в кінцевому результаті доводиться перевіряти подільність трьохзначного числа, що викликає значних затрат часу. • Суть методу фіксованого множника полягає у розбитті числа на нерівно- мірні грані і множенні однієї з них на певне число, цілком конкретне, для даного дільника. Він є громіздким у використанні, але відкриває шлях до виведення ознаки подільності на будь-яке просте число оригінальним способом. • «Універсальною» є ознака Паскаля, з якої можна вивести будь-яку із запропонованих вище. В багатьох випадках раціональність дії тієї чи іншої ознаки часто залежить від конкретного числа. Тому в своєму арсеналі потрібно мати якомога більший їх запас, щоб діяти швидко та ефективно.
• 3.
  3 ЗМІСТ ВСТУП……………………………………………………………...…………… 4 РОЗДІЛ 1Основні відомості теорії подільності…………………………… 6 РОЗДІЛ 2 Подих історії ………………………………................................... 7 РОЗДІЛ 3 Ознаки подільності…………………………………………………...9 3.1. Подільність за останніми цифрами числа…………………………………..9 3.2. Рекурентний метод……………………………………………...………… 11 3.3. Встановлення ознак подільності шляхом розбивання числа на одно, двох і трьохзначні грані справа наліво…………………………………...……………12 3.4. Метод розбиття на нерівномірні грані…………………………..…………15 3.5. Метод використання фіксованого множника…………………...…………16 3.6. «Універсальна» ознака подільності……………………………..………….21 3.7. Застосування конгруенції до розв’язування олімпіадних задач ……….25 ВИСНОВКИ…………………………………………………………..…………..27 СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………………………………...29 ДОДАТКИ……………………………………………………………………… 30
• 4.
  4 ВСТУП У шкільному курсіматематики звертається певна увага на подільність чи- сел, зокрема ознаки подільності на 2, 5, 10, 3, 9. Ми ознайомилися з основами теорії подільності, (доведені за допомогою «мови конгруенції» на 9, 3, 11, 4, 25, 8, 125). Проте фрагментарний підхід має суттєві недоліки, так як не дає цілісної уяви про проблему в цілому і не показує шляхів її вирішення. Незнання ознак подільності звужує наші можливості у розв’язанні багатьох задач. Багато задач математичних олімпіад, так чи інакше , містять задачі про натуральні або цілі числа. А так як операція ділення на натуральні або цілі чи- сла виконується не завжди, то виникла необхідність розглянути випадки, коли ця операція можлива. У цьому може допомогти теорія подільності. Так як у шкільних підручниках з цієї теми немає достатніх відомостей, то ми відчули необхідність отримати додаткові знання з цієї теми, систематизувати отримані теоретичні відомості і навчитися застосовувати їх при розв’язуванні практич- них завдань. Таким чином, ми виявили протиріччя між необхідністю докладного ви- вчення прийомів розв’язування задач на застосування теорії подільності і ма- лим навчальним часом відведеним у шкільній програмі з математики на ви- вчення цієї теми. Подолання даного протиріччя зумовило мету дослідження: на більш гли- бокому рівні ознайомитися з теорією подільності чисел та розглянути деякі способи розв’язання олімпіад них задач на застосування теорії подільності. Тому виникла ідея систематизувати відомості з цієї теми, розглянути та порівняти різні методи визначення подільності двох чисел, знайти відповідь – чи існує універсальний підхід, що дозволяє отримати ознаку подільності на до- вільне число.
• 5.
  5 Об’єктом дослідження науковоїроботи є різновидність методів визначен- ня подільності двох чисел та прийоми розв’язування задач на застосування тео- рії подільності. Предмет дослідження – процес систематизація прийомів, методів розв’язування задач на застосування теорії подільності та чітка класифікація ознак подільності цілих чисел. Мету дослідження убачаємо в узагальненні та систематизації розпоро- шених знань з теми «Ознаки подільності чисел та їх застосування», порівнянні та відборі найбільш лаконічних і раціональних способів, виведенні нових спо- собів доведення подільності двох чисел. У процесі роботи виникла думка, а чи існує універсальна ознака поділь- ності двох чисел. Отже, гіпотезою наукової роботи є припущення існування єдиного твердження, з якого можна отримати будь-яку ознаку подільності на конкретне число. Для обґрунтування припущення були поставлені такі завдання: - зібрати інформацію в різних наукових джерелах про наявні ознаки подільнос- ті натуральних чисел та ознайомитись з поняттям «конгруенція і її властивос- тями; - ознайомитися з різними способами встановлення подільності двох чисел; - класифікувати розпорошений матеріал; - проаналізувати та прокоментувати раціональність того чи іншого способу; - підтвердити свої міркування прикладами; - узагальнити розглянуті ознаки, об’єднавши їх через універсальну ознаку по- дільності Паскаля; - розв’язати завдання, пропоновані на математичних олімпіадах і конкурсах; - показати ефективність представлених прийомів і методів розв’язання задач на застосування теорії подільності у процесі дослідження.
• 6.
  6 РОЗДІЛ 1 ОСНОВНІ ВІДОМОСТІТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ Теорія чисел – розділ математики, в якому вивчаються властивості чисел. Основний об’єкт цієї теорії – натуральні числа, головна властивість яких – по- дільність. Подільність – це властивість цілого числа ділитися на інше число без остачі. Означення 1.1. Кажуть, що ціле число а ділиться націло на ціле число b, b≠0, якщо існує таке ціле число k, що a = bk . Якщо а ділиться націло на b, то пишуть a b. Основні властивості подільності націло подано у додатку А. Відомо, що коли натуральне число а не ділиться націло на натуральне чи- сло b і a>b, то можна виконати ділення з остачею. Теорема 1.1. Для будь-якого цілого число а і натурального числа b існує єдина пара цілих чисел q і r таких, що a=bq+r, де 0≤r<b. Означення 1.2. Цілі числа a і b називають конгруентними за модулем m (m N), якщо остачі при діленні їх на число m рівні. Пишуть а b (mod m). Читають: а конгруентне в за модулем m. Такий запис називають конгруенцією. Поняття конгруентності за модулем впровадив у ма- тематику видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаусс Теорема 1.2. Для того, щоб цілі числа a і b були конгруентними за модулем m, де m N, необхідно й достатньо, щоб різниця a-b ділилась націло на m. Основні властивості конгруенцій надано в додатку Б. Відомо, що ознаки подільності дають змогу за властивостями десяткового запису діленого, не виконуючи ділення, визначити, чи є деяке число його діль- ником. Їх можна класифікувати таким чином (додаток В)
• 7.
  7 РОЗДІЛ 2 ПОДИХ ІСТОРІЇ Останнідесятиріччя можна з упевненістю назвати революційними, періодом бурхливого розвитку новітніх комп’ютерних технологій, через що елементарні теорії математики, начебто, відійшли на другий план, стали не такими «популя- рними» серед науковців. Разом із тим, сьогодні природничі науки потребують високого рівня застосування математики. Саме тому у роботі я хочу звернути увагу на актуальність використання нині класичних підходів до подільності в математиці, її доступність та практичну значимість у застосуванні. Певно, зараз люди частіше користуються калькуляторами, аніж рахують ус- но. Але багато століть тому наші попередники навчилися підраховувати остачу, частку та виконувати багато інших обчислень без використання електронних технологій. Це забезпечувало проведення обчислювальних робіт у різних галу- зях науки.Фактично, саме тому вчені створили саму науку математику, не маю- чи ні комп’ютерів, ні інших обчислювальних пристроїв. Вони хотіли самі осяг- нути та зрозуміти закони природи і суспільства за допомогою математики та передати ці знання своїм наступникам. Дотепер ми користуємося ними. Як ка- зав Ейнштейн, «хоч би як добре працювала машина, вона зможе розв'язувати всі задачі, що ставляться перед нею, але сама жодної задачі не придумає» - хоч зараз є різноманітні пристрої для полегшення роботи людини з цифрами, «нову арифметику» ще ніхто не придумав. У своїй роботі ми працювали із подільніс- тю чисел та многочленів, намагаючись повторити вивчене раніше, пізнати для себе щось нове, цікаве, дослідити та вивести нові ознаки. Цифри не правлять світом, але вони показують, як управляється світ. Й. В. Гете.
• 8.
  8 ,,Ми наближаємось дотого утопічного часу, коли на долю математики зали- шиться тільки складання рівнянь; розв’язувати ці рівняння будуть машини”. Так сказав академік С. І. Вавилов. Академік В. М. Глушков писав:,, Якщо порівняти деякі науки з дорогами, що розходяться з одного центра, то кібернетика – немовби кільцева автострада, що встановлює між ними зв'язок. Роль її в нашому житті з року в рік зростає. Разом з тим зростає і влада людини над силами природи”. Розвиток науки та техніки, дослідження фізичних явищ, створення нових ма- шин, матеріалів, процесів, систем управління неможливе без детального ви- вчення закономірностей та встановлення чисельних характеристик і співвід- ношень, що визначають їх функціювання. Розв’язання, пов’язані з цими мате- матичними задачами, як правило , можливі тільки багаточисельними методами, які вимагають складних та громіздких обчислень .У середині ХХ ст. розвиток атомної фізики, ракетної та космічної техніки вимагав рішення обчислюваль- них задач такого великого об‘єму, що з ними неможливо було впоратись за допомогою обчислювальної техніки – клавішних або перфораційних машин, які існували в той час.Сьогодні важко уявити собі, як розвивалася б наука, тех- ніка, виробництво, якби не було сучасних комп’ютерів, планшетів, мікрокаль- куляторів. Саме завдяки бурхливому розвитку обчислювальної техніки і елект- роніки було досягнуто дивовижних успіхів у створенні і запуску штучних супу- тників Землі, космічних ракет, кораблів, станцій. За допомогою електроніки ро- блять складні операції, які рятують життя людині. ЕОМ керує машинами, грає в шахи, різні ігри, допомогає проводити фізичні та хімічні досліди. Звичайно виникає запитання: чи потрібно зараз вміти рахувати усно, знати табличку множення? Я переконана: потрібно. Для загального розвитку, для практичних розрахунків під час відвідування торгівельних, розважальних центрів (чи ста- немо ми перевіряти розрахунки в цих місцях за допомогою калькулятора?). У випускних класах ( 4,9,11 ) учні складають державну підсумкову атестацію, ви-
• 9.
  9 пускники здають зовнішнєнезалежне оцінювання з математики, де не дозво- ляють користуватися калькуляторами, телефонами, планшетами.
• 10.
  10 РОЗДІЛ 3 ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ 3.1.Подільність за останніми цифрами числа. Відмітимо загальновідомі зі шкільного курсу математики ознаки поділь- ності на 2, 5, 10, 4, 8, 25. 3.1.1. Ознака подільності на 2. Теорема 3.1. На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число, перший розряд яко- го парний (0, 2, 4, 6, 8). N 2, де N=10a+b (a Z, b Z), якщо b 2, тобто b=0, 2, 4, 6, 8. Доведення: Нехай . Будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти чисел. Тоді N=10a+b (b – перший роз- ряд, а – число, що складається з решти розрядів). 10a 2 (за властивістю 3, дода- ток А). Таким чином на 2 має ділитися b. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п’яти наступних чи- сел: 0, 2, 4, 6, 8. 3.1.2. Ознака подільності на 5 і 10. Теорема 3.2.N 5, де N=10a+b (a Z, b Z), якщо b 5, тобто b=0 або 5. Теорема 3.3.N 10, де N=10a+b (a Z, b Z), якщо b= 0. Отже, на 5 ділиться будь-яке ціле число, перший розряд якого 5 або 0, а на 10, якщо у розряді одиниць стоїть 0. 3.1.3. Ознака подільності на 4 і 25. Теорема 3.4. Число ділиться на 4 тоді, якщо число, утворене його двома остан- німи цифрами ділиться на 4. N 4, де , якщо(10а1 + а0) 4. Доведення: Нехай = 100 + 10а1 + а0 = 100а + b 100а 4, тому число N 4, якщо b = (10а1 + а0) 4.
• 11.
  11 Теорема 3.5.N 25,де , якщо (10а1 + а0) 25. 3.1.4. Ознака подільності на 8. Теорема 3.6. Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8. N 8, де , якщо (100а2 +10а1 + а0) 8. Доведення: Нехай = 1000 + 100а2 + 10а1 + а0 = 1000а + b, де a Z, b Z і b = 100а2 + 10а1 + а0 1000a 8, тому число N 8, тоді і тільки тоді, коли b 8. Але b і є числом, утворе- ним трьома останніми цифрами числа N. Приклад 3.1.6.1. Число 52128 8, бо 128 8 = 16 Наведемо інші інтерпретації ознаки подільності на 8. Теорема 3.7. Якщо число сотень є парне, то число утворене двома останніми цифрами повинне ділитися на 8. Якщо ж число сотень є непарним, то до числа, утвореного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне діли- тися на 8. Приклад 3.1.7.1. а) 624 8, бо 6 – парне і 24 8. б) 352 8, бо 52+4=56 і 56 8. Перечислені ознаки подільності є простими, зручними у використанні. Але подільність за останніми цифрами може бути використана для обмеженої кількості дільників. 3.2. Рекурентний метод. Рекурентний алгоритм ділення числа N на число n полягає в утворенні деякої послідовності чисел N1, N2 … Nn, де N1 = N-n (N1 n),
• 12.
  12 N2 = N1-n(N2 n), ………………… Nn = Nn-1-n (Nn n) Якщо Nn = 0, то N n, якщо Nn 0, то N не ділиться націло на n. Його суть – у поступовому віднімання від числа N числа n. Якщо різниця на якомусь етапі співпаде з числом n, то N n. При високих значеннях N і порівняно невеликому n цей процес довготри- валий, тому сам спосіб, незважаючи на простоту, є неефективним. Якщо модифікувати цей алгоритм, утворивши послідовність N1, N2 … Nn, де N1 = N - 10k ∙n∙r, ( , N1 ≤ 10k ∙n∙rі N>10k ∙n∙r), N2 = N1 -10k-1 ∙n∙m, (N2 ≤ 10k-1 ∙n∙m), ………………… Nl = Nk-1 - n∙p, (Nl n∙p), l, n, p, m, k Z. То N n тільки тоді, якщо Nl n. Приклад 3.2.1. Використовуючи модифікований рекурентний спосіб по- дільності, перевірити чи ділиться 123459 на 7. Розв’язання: Послідовно віднімаємо від числа 123459 – 70000, 7000, 700, 70, 7 в залежності від кількості цифр заданого числа, або різниці, маємо: 123459 – 70000 = 53459  53459 – 7000 = 46459  46459 – 7000 = 39459  39459 – 7000 = 32459  …  42 – 7 = 35  35 – 7 = 28  28 – 7 = 14  7 7, отже 123459 7. Зрозуміло, що цей алгоритм цікавий, але трудомісткий, а, отже, далеко не ефективний, тим паче, що для 7 є раціональніші ознаки подільності. 3.3. Встановлення ознак подільності шляхом розбивання числа на одно, двох і трьох значні грані справа наліво. 3.3.1. Ознаки подільності числа на 3, 9. Виведемо ознаки подільності числа N на 3 і 9. Представимо число N як N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0
• 13.
  13 де 0 ai<10. Тоді число N можна записати так Отже, число N ділиться на 3 або 9 тоді і тільки тоді, коли сума цифр да- ного числа ділиться на 3 чи 9 відповідно. Теорема 3.8. ; Приклад 3.3.1.1. Чи ділиться на 3 і на 9 число, яке записується 4444-ма четвір- ками? Розв’язання: Сума цифр числа А дорівнює 44444=17776. Застосовуючи до одержаного числа ознаку подільності на 3 і 9 переконуємося, що 17776 не ді- литься на 3 і 17776 не ділиться на 9. Отже, це число не ділиться без остачі на 3 і 9. 3.3.2. Ознака подільності на 11. 3.3.2.1. Запишемо число N у вигляді N=102n аn + 102n-2 аn-1 + … + 102 а1 + а0 де 0 ai< 100. Таке представлення числа N відповідає умовному розбиванню даного числа на двозначні грані справа наліво. Тоді N можна записати так: = ∙ + ∙ +…+99 +( + +….+ + + ) Звідси N 11, якщо де ai – двозначне чис- ло утворене розбиттям N на двозначні грані справа наліво. Теорема 3.9. Число розбивають на двозначні грані справа наліво (якщо необхідно, дописуємо 0 в кінець або початок числа). Якщо сума отриманих гра- ней ділиться на 11, то і саме число ділиться на 11.
• 14.
  14 де ai –двозначне число. Приклад 3.3.2.1.1. Чи ділиться націло на 11 число 9163627? Розв’язання: 27 + 36 + 16 + 09 = 88 88 11, тому 9163627 11. 3.3.2.2. Друга ознака подільності на 11 базується на різниці однозначних гра- ней, що стоять на парних та непарних місцях. Теорема 3.10. Якщо число розбити на однозначні грані і сума граней, що сто- ять на непарних місцях дорівнює сумі граней, що стоять на непарних місцях, або їх різниця ділиться на 11, то і число ділиться на 11. , якщо 11 Доведення:Нехай N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 Врахуємо, що 101 -1 (mod 11), 103 -1 (mod 11), …, 102k+1 -1 (mod 11), а 102 1 (mod 11), 104 1 (mod 11), …, 102k 1 (mod 11). Приходимо до висновку, що 11, при умові, що 11. Приклад 3.3.2.2.1. Чи ділиться 9163627 на 11. Розв’язання: 7 – 2+6 – 3+6 – 1+9=22, 22ділиться на 11, отже, 9163627 ділиться на 11. Другий спосіб визначення подільності числа N на 11 більш зручний, порі- вняно з першим. Адже доводиться мати справу з меншими числами, а, отже, швидше отримується кінцевий результат. 3.3.3. Ознака подільності на 7 і 13. Ідея розбиття числа N на трьохзначні умовні грані знайшла своє застосу- вання при визначенні ознак подільності числа N на 7 та 13. Неважко помітити, що 103 = 1000 = 143 ∙ 7 – 1 103 = 77∙13 – 1 106 = 142857∙7 + 1 106 = 76923∙13 + 1 Тому 102n-1 -1 (mod 7), а 102n 1 (mod 7)
• 15.
  15 Отже, запишемо числоN у вигляді: N=103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 106 а2 + 103 a1 + а0, де 0 ai< 1000. Таке представлення числа N відповідає умовному розбиванню даного числа на тризначні грані справа наліво. Теорема3.11. 7,13тоді і тільки тоді, коли 7,13, 0 ai< 1000 3.3.4. Ознака подільності на 37. Як і в попередньому випадку, розділимо число N на тризначні грані спра- ва наліво, тобто N=103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 106 а2 + 103 a1 + а0. Так як 1000 = 27 ∙ ∙37 + 1, тоді 103k 1 (mod 37). Отже, має місце таке твердження: Теорема 3.12.N=(103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 106 а2 + 103 a1 + а0) 37 тоді і тільки тоді, коли + , де ai– тризначні числа, утворені в результаті поділу даного числа на тризначні грані, починаючи справа наліво. Приклад 3.3.4.1. Визначити подільність числа 29583794 на 7, 11, 13, 37, користуючись методом розбиття числа N на тризначні грані справа наліво. Розв’язання: 794 – 583 + 29 = 240. 240 не ділиться націло на 7, 11, 13. Отже, 29583794 не ділиться націло на 7, 11, 13. Визначимо подільність даного числа на 37. 794 + 583 + 29 = 1406. 1 + 406 = 407 37, отже N 37. Оригінальність цього методу очевидна, тим більше, що він дає можли- вість визначати подільність числа на 37, яка не виводилася за допомогою мето- дів, що розглядалися вище. 3.4. Метод розбиття на нерівномірні грані. Виведемо ознаку подільності на 7, 11, 13. Нехай N = 1000 a + b (1) Знайдемо p = a – b, тоді 1000p = 1000a – 1000b. Звідси 1000a = 1000p + 1000b (2)
• 16.
  16 Підставимо (2) в(1), одержимо N = 1000p + 1000b + b = 1000p + 1001b; Оскільки 1001 7, 1001 11, 1001 13, то N ділиться націло на 7, 11, 13 тільки тоді, коли p 7, p 11, p 13. Зрозуміло, що p – різниця між числом скла- деним з усіх цифр числа N, крім останніх трьох і числом, складеним з трьох останніх цифр числа N, записаних у тому ж порядку, що й дане число N. Теорема 3.13. Якщо N = 1000a + b, де , і – ділиться націло на 7, 11, 13, то і N 7, N 11, N 13 Приклад 3.4.1. Перевірити, чи ділиться число 3754023 на 7, 11, 13. Розв’язання: Застосуємо метод розбиття на нерівномірні грані. p = 3754 – 23 = 3731 Застосуємо виведену ознаку ще один раз: 3 – 731 = -728; Оскільки 728 7, то 3754023 7. 728 не ділиться на 11, то і число 3754023 не ділиться на 11. 728 13, то і число 3754023 13. Метод корисний і зручний. Єдиний недолік, що в кінцевому результаті доводиться перевіряти подільність трьохзначного числа, що вимагає затрат ча- су. 3.5. Метод використання фіксованого множника. Суть цього методу полягає у розбитті даного числа на нерівномірні грані і множенні однієї з них на певне число, цілком конкретне, фіксоване для даного дільника. Шляхом логічних міркувань, знайдемо цей множник для кожного конкретного випадку. 3.5.1. Ознака подільності на 11. Нехай N = = 10 = 11 – + = 11a – a + b. Отже N 11, якщо (b - a) 11, де b – цифра роз- ряду одиниць, a – число, що складається з усіх цифр N, крім останньої.
• 17.
  17 Теорема 3.14. ЯкщоN = 10 a + b, то N 11, якщо (b - a) 11. Фіксованим множником виступає 1. Приклад 3.5.1.1. Перевірити, чи ділиться націло на 11 число 3476. Розв’язання:a = 347, b = 6; b – a = 6 – 347 = -341. Застосуємо цей метод повторно до числа 341. 1 – 34 = -33, потім до 33: 3 – 3 = 0; Отже 3476 11. 3.5.2. Ознака подільності на 13. Нехай N = = 10 = 13 – 3∙ + = 13a – 3∙a + b. Теорема 3.15. Якщо N = 10 a + b, то N 13, тоді і тільки тоді, якщо (b–3∙a) 13. Фіксованим множником є 3. Приклад 3.5.2.1. Перевірити подільність 3471 на 13. Розв’язання:a = 347, b = 1; b – 3∙a = 1 – 3∙347 = 1 – 1041 = -1040. Далі a = 104, b = 0. 0 – 3∙104 = -312, 2 – 3∙31 = -91, 1 – 3∙9 = -26, 6 – 3∙2 = 0, Отже, 3471 13. 3.5.3. Ознака подільності на 19. 3.5.3.1.Нехай N= = 10 = 19 – – 9∙ + = 19a – 9∙a + b. Теорема3.16. Якщо N=10a+b, то N 19 тоді, коли (b-9a) 19 3.5.3.2. Нехай N = = 100 = = 95∙ + 5∙ + .
• 18.
  18 Теорема 3.17. ЯкщоN = = 100a + b, то N 19, тоді і тільки тоді, якщо (5∙a + b) 19. Приклад 3.5.3.2.1.Чи ділиться націло 323 на 19? Розв’язання:a = 3, b = 23; 5∙a + b = 15 + 23 = 38; 38 19, тому 323 19. 3.5.4. Ознака подільності на 47. Нехай N = = 100 = = 94 ∙ + 6∙ + = 94 a + 6a + b, де b – двозначна грань. Теорема 3.18. Якщо N=100a + b, то N 47, тоді і тільки тоді, якщо (6∙a+b) 47. Фіксоване число 6. Приклад 3.5.4.1.Довести, що 517 47. Доведення:a = 5, b = 17; 6∙a+b = 6∙5 + 17 = 47; 47 47, отже 517 47. 3.5.5. Ознака подільності на 31. Нехай N = = 100 = = 93∙ + 7∙ + = 93 a + 7a + b, де b – двозначна грань. Теорема 3.19. Якщо N=100a + b, то N 31, тоді і тільки тоді, якщо (7∙a+b) 31. Фіксоване число у даній ознаці 7. 3.5.6. Ознака подільності на 97. Нехай N = = 100 = = 97∙ + 3∙ + = 97 a + 3a + b, Теорема 3.20. Якщо N=100a + b, то N 97, тоді і тільки тоді, якщо (3∙a+b) 97. Приклад 3.5.6.1. Перевірити чи ділиться 12707 на 97? Розв’язання:a = 127, b = 7; 3∙a + b = 3∙127 + 7 = 381 + 7 = 388 a = 3, b = 88; 3∙a + b = 3∙3 + 88 = 97; 97 97, тому 12707 97.
• 19.
  19 3.5.7. Ознака подільностіна 251. Нехай N = = 1000 = = 1004∙ – 4∙ + = 1004a – 4a+b, де b – тризначна грань. Теорема 3.21. Якщо N=1000a+b, то N 251, тоді і тільки тоді, якщо (b–4∙a) 251. Приклад 3.5.7.1.Довести, що 9313 315 251 Доведення:a = 93137, b = 315; b–4∙a = 315 – 4∙93137 = 315 – 372548 = 372233 a = 372, b = 233; b–4∙a = 233 – 4∙372 = 233 – 1488 = -1255 a = 1, b = 255; b–4∙a = 255 – 4∙1 = 255 – 4 = 251; 251 251, тому 93137315 251. Аналогічно можна вивести ознаки подільності на 51, 1251, 7, 143. Одер- жані результати оформимо у вигляді таблиці (додаток Г). Отриманий метод дещо громіздкий у використанні, але він відкриває шлях до виведення ознаки подільності на будь-яке просте число оригінальним способом. 3.5.8. «S – подільність». Розглянемо ще один спосіб виведення ознак подільності числа N на m мето- дом використання фіксованого множника. Нехай N = 10 a + b Намагатимемося підібрати таке S, щоб (S, m)=1, і (10S±1) m. Доведемо, що N=(10a + b) m тоді і тільки тоді, коли на m ділиться a ± bS. N = 10 a + b NS = (10 a + b)∙S NS = 10 aS + bS = 10 aS + a – a + bS ; NS = (10 S + 1)∙a – (a – bS) або NS = (10 S – 1)∙ a – (a + bS) Так як (S, m) = 1, і (10S ± 1) m, то N = (10 a + b) m, коли (a±bS) m.
• 20.
  20 Користуючись цим правиломвиведемо ознаки подільності числа N=10a+b на ряд чисел, зокрема на 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Для цього для кожного вище перелічених значень m будемо підбирати відповідне значення S і знаходити вираз a±bS. 1) m = 3, так як (10∙1 – 1) 3, то S = 1 2) m = 7, так як (10∙2 + 1) 7, то S = 2 3) m = 11, так як (10∙1 + 1) 11, то S = 1 4) m = 13, так як (10∙4 – 1) 13, то S = 4 5) m = 17, так як (10∙5 + 1) 17, то S = 5 6) m = 19, так як (10∙2 – 1) 19, то S = 2 7) m = 23, так як (10∙7 – 1) 23, то S = 7 8) m = 29, так як (10∙3 – 1) 29, то S = 3 9) m = 31, так як (10∙3 + 1) 31, то S = 3 10) m = 37, так як (10∙11 + 1) 37, то S = 11 Одержані ознаки подільності числа N=10a+b на ряд простих чисел прості для розуміння і використання, проте як недолік слід відмітити те, що числа ви- ду a±bS лише на порядок менші від заданого числа N=10a+b, тому при великих N треба кілька разів застосовувати даний метод, щоб одержати деяке число N, і про яке можна твердо сказати ділиться воно на задане m чи ні. Узагальнимо наші міркування (додаток Д). Приклад 3.5.8.1. Чи ділиться число 78244 на 31? Розв’язання:N=10a+b = 7824∙10 + 4, a = 7824, b = 4, m = 31 По таблиці знаходимо S = 3, отже А = a – 3∙b, А = 7824 – 3∙4 = 7812 Аналогічно знаходимо А1 = 781 – 6 = 775, А2 = 77 – 15 = 62, 62 31, отже 7812 31, дійсно 7812 31 = 252. У процесі наукового дослідження приходимо до більш загальних алгори- тмів визначення подільності двох чисел, які вказують шлях виведення ознаки подільності на будь-яке просте число.
• 21.
  21 3.6. «Універсальна» ознакаподільності. Виділяючи «універсальну» ознаку подільності, ми повинні переконатися, що вона задовольняє ряд умов: - виконується для будь-якого дільника m; - застосовується для будь-якого діленого N; - з неї можна вивести запропоновані вище ознаки подільності; - повинна бути масовою. Такою є ознака Паскаля. Сформулюємо її. Теорема Паскаля. Нехай N = , де a0 – одиниці, a1 – десятки і т.д. Нехай C – довільне натуральне число, для якого ми хочемо вивести ознаку по- дільності. Нехай 10 r1 (modC) 10r1 r2 (modC) 10r2 r3 (modC) ………………… 10ri-1 ri (modC), і =2,…,n Тоді число N має ту ж остачу від ділення на число C, що і число rnan + … + r2a2+ + r1a1 +a0 Доведення. Нехай an10n + an-110n-1 + an-210n-2 + … + a2102 +a1101 +a0100 Тоді 100 = cq0 + r0, але 100 = 1, 1 = cq0 + r0, 1 = с*0 + r0, r0 = 1 101 = cq1 + r1 102 = cq2 + r2 10k = cqk + rk ……………… 10n = cqn + rn Отже, N = an(cqn + rn) + an-1(cqn-1 + rn-1) + … + a2(cq2 + r2) + a1(cq1 + r1)+a01=c∙ ∙(anqn + an-1qn-1 + … + a2q2 + a1q1) + anrn + an-1rn-1 + … + a2r2 + a1r1 + a0 Отже, N = cx + y, де x = anqn + an-1qn-1 + … + a2q2 + a1q1 y = anrn + an-1rn-1 + … + a2r2 + a1r1 + a0
• 22.
  22 Так як cxc, то, щоб N = (cx + y) c необхідно, щоб y c, або y = (anrn + an-1rn-1 + … + a2r2 + a1r1 + a0) c. Отже, щоб число N ділилося націло на c, необхідно, щоб сума добутків цифр числа (ai) на остачі від ділення відповідних степенів числа 10 на число c ділилося на c. Приклад 3.6.1. Чи ділиться на 7 число N=285349? Розв’язання:N=285349=2∙105 +8·104 +5∙103 +3∙102 +4∙101 +9 Знайдемо відповідні остачі від ділення 10k на 7. 101 3 (mod 7); 102 2 (mod 7); 103 (-1) (mod 7); 104 (-3) (mod 7); 105 (-2) (mod 7). Отже, A = 2∙(-2)+8∙(-3)+5∙(-1)+3∙2+4∙3+9=-4-24-5+6+12+9=-6 Отже, N=285349 не ділиться 7, остача від ділення рівна 1. Скориставшись загальною ознакою подільності Паскаля, виведемо ознаки по- дільності N = для конкретних m. 3.6.1.m = 2. 100 = 1 = 2∙0 + 1 r0 = 1 A0r0 = a0∙1 = a0 101 = 10 = 2∙5 + 0 r1 = 0 A1r1 = a1∙0 = 0 102 = 100 = 2∙50 + 0 r2 = 0 A2r2 = a2∙0 = 0 ……………………… ……… ………………… 10n = 2∙5∙10n-1 + 0 rn = 0 Anrn = an∙0 = 0 Тоді anrn + an-1rn-1 + … + a2r2 + a1r1 + a0 = 0+0+…+0+ a0 Отже N 2 тоді і тільки тоді, коли a0 2, одержали відому ознаку подільно- сті на 2. 3.6.2.m = 3. 100 = 1 = 3∙0 + 1 r0 = 1 A0r0 = a0∙1 = a0 101 = 10 = 3∙3 + 1 r1 = 1 A1r1 = a1∙1 = a1 102 = 100 = 3∙33 + 1 r2 = 1 A2r2 = a2∙1 = a2 ……………………… ……… ………………… 10n = 3∙33…3 + 1 rn = 1 Anrn = an∙1 = 1
• 23.
  23 Тоді anrn +an-1rn-1 + … + a1r1 + a0 =an+ an-1 + … + a1 +a0 Отже, N 3,коли 3, одержали відому ознаку подільності на 3. 3.6.3.m = 4. 100 = 1 = 4∙0 + 1 r0 = 1 A0r0 = a0∙1 = a0 101 = 10 = 2∙4+2 r1 = 2 A1r1 = a1∙2 = 2a1 102 = 100 = 4∙25 + 0 r2 = 0 A2r2 = a2∙0 = 0 ……………………… ……… ………………… 10n = 4∙25∙10n + 0 rn = 0 Anrn = an∙0 = 0 ТодіA = a0 + 2a1 Отже, N 4, якщо (a0 + 2a1) 4, тобто коли сума останньої цифри та под- воєної попередньої ділиться націло на 4. Приклад 3.6.3.1. Чи ділиться 28378472 на 4? Розв’язання: N= 28378472, a0 + 2a1 = 2∙7+2 = 14 + 2 = 16 16 4, тому 28378472 4. 3.6.4.m = 5. 100 = 1 = 5∙0 + 1 r0 = 1 A0r0 = a0∙1 = a0 101 = 10 = 2∙5+0 r1 = 0 A1r1 = a1∙0 = 0 102 = 100 = 5∙20 + 0 r2 = 0 A2r2 = a2∙0 = 0 ……………………… ……… ………………… 10n = 4∙25∙10n + 0 rn = 0 Anrn = an∙0 = 0 Отже, N 5, якщо a 5. 3.6.5.m = 6. Цікавою виявляється ознака подільності на 6. Так як остача від ділення чисел виду 10k на 6 дорівнює 4, то шуканий вираз a0 +a1r1 + a2r2 + … +anrn =a0 + 4a1 + 4a2 + … + 4an = a0 + 4(a1 + a2 + … +an) Отже, N 6, коли (a0 + 4(a1 + a2 + … +an)) 6.
• 24.
  24 Приклад 3.6.5.1. Чиділиться на 6 число N=2876453784. Розв’язання:a0 + 4(a1 + a2 + … +an) = 4+4(8+7+3+5+4+6+7+8+2)=204 6 Отже, і N=2876453784 6. До такого ж висновку ми приходимо переконавшись, що 2876453784 ділиться на 2 і на 3 одночасно. 3.6.5.m = 7. 100 = 1 = 7∙0 + 1 r0 = 1 A0r0 = a0∙1 = a0 101 = 10 = 7∙1+3 r1 = 3 A1r1 = a1∙3 = 3a1 102 = 100 = 7∙14+2 r2 = 2 A2r2 = a2∙2 = 2a2 103 = 1000 = 7∙143-1 r3 = -1 A3r3 = a3∙(-1) = -a3 104 = 10000 = 7∙1429-3 r4 = -3 A4r4 = a4∙(-3) = -3a4 105 = 100000 = 7∙14285-2 r5 = -2 A5r5 = a2∙(-2) = -2a5 106 = 105 ∙101 r6 = -2∙3=1 A6r6 = a6∙1 = a6 …………………………………………………………………… Отже, виявилася певна закономірність утворення остач, тоді шуканий ви- раз дорівнює = 1a0 + 3a1 + 2a2 – a3–3a4–2a5 + a6 + … a3k 3a3k+1 2a3k+2 = = (a0–a3+a6–a9+… a3k)+ 3(a1–a4+a7–a10+… a3k+1) + 2(a2–a5+a8–a11+… a3k+2). Отже N 7, коли ((a0–a3+a6–a9+… a3k) + 3(a1–a4+a7–a10+… a3k+1) + 2(a2–a5+a8– -a11+… a3k+2)) 7 Приклад 3.6.6.1. Чи ділиться на 7 29584349. Розв’язання: Знаходимо відповідну суму: 1∙9 + 3∙4 + 2∙3 – 1∙4 – 3∙8 – 2∙5 + 1∙9 + 3∙2 = 27 – 38 + 15 = 4. Остача від ділення 729584349 на 7 дорівнює 4.Як бачимо, очевидних пе- реваг перед іншими жоден з розглянутих способів визначення подільності на 7 немає, але при використанні ознаки Паскаля обчислення дещо простіші, так як доводиться мати справу з меншими числам
• 25.
  25 3.7.Застосування конгруенцій дорозв’язування олімпіад них задач Задача 1. Довести, що число 𝟑 𝟏𝟎𝟓 +𝟒 𝟏𝟎𝟓 ділиться на 13,49,181 та 379, але не ділиться на 5 та 11. Доведення Вираз а 𝑛 +𝑏 𝑛 ділиться на a+b , якщо n - непарне число. Тому число 3105 +4105 =(33)35 +(43)35 ділиться на 33 +43 =7*13. Аналогічно з рівнос- тей 3105 + 4105 = (35)21 +(43)21 3105 +4105 = (37)15 +(47)15 слідує, що дане число ді- литься на 35 + 45 = 7* 181 та на 37 + 47 = 49*379. Відмітимо далі, що 43 -1 (mod 5 ) . Це означає, що число 43 при діленні на 5 дає остачу (-1). Звідси слідує, що 4105 (−1)35 (mod 5). Отже , 4105 -1 (mod 5). Аналогічно, маємо 3² -1 (mod5), звідси слідує, що 3104 =(−1)52 (mod 5). Отже, 3104 1(mod 5) і 3105 3 (mod 5). Так як 4105 −1 (𝑚𝑜𝑑5) і 3105 3 (mod 5) , то 3105 +4105 2 (mod 5) це означає, що число 3105 +4105 при діленні на 5 дає остачу 2. Аналогічно 43 −2 (𝑚𝑜𝑑 11) звідси слідує, що 415 (−2)5 (mod11). Отже,415 −32 (𝑚𝑜𝑑11), оскільки -32 1(mod11), то 415 1 (𝑚𝑜𝑑 11). А значить 4105 17 ( mod11) тобто 4105 1 ( mod11). Аналогічно ,маємо 35 1 (mod 11 ), звідси слідує, що 3105 121 (mod 11). Отже , 3105 1 ( mod11).) Так як 4105 1 ( mod11) і 3105 1 ( mod11) , то 3105 +4105 2 (mod11) це означає, що число 3105 +4105 при діленні на 11 дає остачу 2. Що й треба було довести .
• 26.
  26 Задача 2. Надошці написано число 321321321321.Які цифри треба стер- ти, щоб отримати найбільше можливе число, яке ділиться на 9 ? Розв’язання Для розв’язання задачі скористаємося ознакою подільності натуральних чисел на 9 : на 9 діляться ті і лише ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9. Сума цифр даного числа а = 321321321321 становить 24. Найбільшим натуральним числом, яке не перевищує 24 і ділиться на 9, є число 18. Оскільки 24 – 18 = 6, то в даному числі слід закреслити такі цифри, сума яких становить 6. Очевидно, що шукане число буде найбільшим, коли буде за- креслена найменша кількість цифр. Оскільки в даному числі а = 321321321321 зустрічаються виключно цифри 1, 2 і 3( кожна точно чотири рази), то найменша кількість цифр, що закреслюються у числі і сума яких дорі- внює 6, становить 2.Тобто, коли видаляються точно дві трійки. Отже, шукане число одержується із заданого в результаті закреслювання двох трійок. Оскіль- ки в даному числі рівно чотири трійки ( що займають 1-шу, 4 –ту, 7–му та 10-ту позиції), то існує точно 6 різних способів закреслювання двох зазначених трі- йок. Шукане число буде найбільшим в тому випадку, коли будуть викреслени- ми трійки, що займають 7-му і 10-ту позиції, тобто ті, що відповідають меншим розрядним одиницям. Отже шуканим числом є число 321321321321 = 3213212121 Відповідь: 3213212121
• 27.
  27 ВИСНОВКИ Працюючи над даноюроботою, поглибивши знання з теми « Поділь- ність натуральних чисел» і розглянувши способи їх застосування до розв’язування задач. Переглядаючи наукову літературу, ми ознайомилися з різ- ними методами визначення ознак подільності двох чисел. Довели загальнові- домі зі шкільного курсу ознаки подільності на 2, 5, 10, 4, 8, спираючись на ме- тод подільності за останніми цифрами, обґрунтували й показали практичне за- стосування загального та частинного випадку рекурентного алгоритму, засвоїли правила встановлення ознак подільності шляхом розбивання числа на одно, двох і трьох значні грані справа наліво, переконалися в існуванні «універсаль- ної» ознаки подільності – методі Паскаля. Опрацьований матеріал систематизували та класифікували, дотримую- чись принципу від «простого до складного», у послідовності, яку вважаємо найбільш доречною. Окремо виділили і дали назву методу розбиття на нерівномірні грані та алгоритму використання фіксованого множника. Саме в цих розділах навели власний спосіб виведення ознак подільності , що «перегукується» з «S- способом», описаним у літературі. Зібраний матеріал оформили у вигляді схем та таблиць. Намагаючись охарактеризувати переваги та недоліки кожного методу, відібрати прості й ефективні, використання яких приводить нас до мети найш- видшим шляхом. Переконалися, що в багатьох випадках раціональність дії тієї чи іншої ознаки часто залежить від конкретного числа. Тому в своєму арсеналі потрібно мати якомога більший їх запас, щоб діяти швидко та ефективно(Додаток Е). Розглядаючи олімпіадні завдання різних рівнів можна зробити висновок, що конгруентність чисел за певним модулем доцільно використовувати при розв’язуванні задач на знаходження остачі від ділення дуже великих чисел або при доведенні подільності виразів, що містять степінь з натуральним показни-
• 28.
  28 ком. В своїйроботі ми навели приклади розв’язування таких задач, що пропо- нувались на обласних математичних олімпіадах для 8-9 класів. Ми розглядали далеко не всі типи завдань при розв’язуванні, яких доцільно застосовувати конгруентність та їх властивості. Це досить складна проблема, якою займаються математики з давніх часів і по теперішній час. Так як в шкільній програмі тема « Подільність натуральних чисел» вивчається у 6 класі, то учням старших класів буде корисним повторити основні моменти цієї теми. А так як досить складні задачі на доведення з’являються вже у 7-8 класах. То до цієї теми можна звернутись і в середній ланці. Тому хочеться ві- рити, що наша робота буде гарною підмогою вчителеві для роботи з учнями, які захоплюються математикою. У своїй науковій роботі ми приділили більшу увагу ознакам подільності на прості числа. Алгоритми ділення на складене число – це вже тема іншої ро- боти.
• 29.
  29 СПИСОК ВТКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1.Балко А.А., Самодуров З.С. Математика у середній школі. К. 1974. 2. Вишенський В.А., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Конкурсні задачі з математики.-К.: «Вища школа»,2001.- 432с. 3. Вороний О. М. Готуємось до олімпіад з математики . - Харків: Видав- нича група « Основа»,2008.- 256с. 1. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра: Підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики — Х.: Гімназія, 2010 . - 368 с. 4. Нікольська І. Л., Фірсов В.В. Факультативні заняття з математики в 9- 10 класах.1983. 6. Ожигова Е.П. Що таке теорія чисел. -М.: Знання. 1970. 7. Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч: Навч. по- сібн.- Видавництво А.С.К., 2004.- 344с.:іл.. 8. Ципкін О.Г. Довідник з математики. – К.: Вища школа, 1988, с.21-22. 9.Ченакал Є.О. Математика. Посібник для факультативних занять у 7 кла- сі.-К.: Рад.шк.,1982, с.6-11.
• 30.
  30 ДОДАТКИ Додаток А Основні властивостіподільності 1. Якщо a ≠ 0, то a a; 2. Якщо a ≠ 0, то 0 a; 3. Якщо a b, то ka b; 4. Якщо a b і b c, то a c; 5. Якщо a b і b a, то |a| |b|; 6. Якщо a m і b n, то ab mn; 7. Якщо a c і b c, то (a ± b) c; 8. Якщо a bk, то a b і a k; 9. Якщо (a ± b) c і a c, то b c; 10. Якщо a b, a cmі (b,c) = 1, то a bc; 11. Якщо ab c і (b,c) = 1, то a c; 12. Якщо ab p і p – просте число, то або a p, або b p; 13. Якщо an p і p – просте число, то a p; 14. Два послідовні натуральні числа взаємнопрості. НСД (n,n+1) = 1; 15. Два послідовні непарні числа взаємнопрості.
• 31.
  31 Додаток Б Основні властивостіконгруенції 1. Якщо a≡b(mod m), b≡c(mod m), то a≡c(mod m); 2. Якщо a≡b(mod m), то а+с≡b+c(mod m); 3. Якщо a≡b(mod m), то ac≡bc(mod m); 4. Якщо a≡b(mod m) і c≡d(mod m), то a±c≡b±d(mod m); 5. Якщо a≡b(mod m) ) і c≡d(mod m), то ac≡bd(mod m); 6. Якщо a≡b(mod m), то an ≡ bn (mod m).
• 32.
  32 Зведена таблиця ознакподільності Додаток Е № Запис числа N m Ознака подільності Розбивання числа N на грані «S-ознака» Ознака Паскаля 1. 2. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b 3 3 — — (a+ b) 3 — 1. 2. 3. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b N=103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 103 а1 + а0 7 — — 7 — (a – 2b) 7 — ((a0–a3+… a3k)+3(a1– –a4+… a3k+1)+2(a2– –a5+… a3k+2)) 7 1. 2. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b 9 9 — — (a + b) 9 — 1. 2. 3. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b N=102n аn + 102n-2 аn-1 + … + 102 а1 + а0 11 11 — 11 — (a–b) 11 — ((a0+a2+…+a2n)– –(a1+a3+…+a2n+1)) 11 1. 2. 3. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b N=103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 103 а1 + а0 13 — — 13 — (a+4b) 13 — ((a0–a3+… a3k)–3* *(a1–a4+… a3k+1)–4* *(a2–a5+… a3k+2)) 13 1. 2. 3. N=10n аn + 10n-1 аn-1 + … + 102 а2 + 10а1 + а0 N=10a+b N=103n аn + 103n-3 аn-1 + … + 103 а1 + а0 17 — — 17 — (a–11b) 17 — ((a0+a3+…+a3k)+10* *(a1+a4+…+a3k+1)–11* *(a2+a5+…+a3k+2)) 11
• 33.
  33 Додаток В Ознаки подільності Ознака Паскаля Методвикористання фіксованого множника Метод розбиття на нерівномірні грані Розбивання числа на одно, двох, трьох значні грані Рекурентний метод Подільність за останніми цифрами числа
• 34.
  34 Додаток Г Метод використанняфіксованого множника Ділення N 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b Дільник m 7 11 13 19 19 47 31 Фіксоване k 3 -1 -3 -9 5 6 7 b+ka b+ 3a b–a b– 3a b– 9a b+ 5a b+ 6a b+7a Ділення N 100a+b 100a+b 100a+b 100a+b 100a+b Дільник m 97 251 51 1251 143 Фіксоване k 3 -4 -2 -8 -1 b±ka 3a + b b– 4a b– 2a b– 8a b – a
• 35.
  35 Додаток Д «S-подільність» N 10a+b10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b m 3, 9 7 11 13 17 19 23 29 31 37 S 1 2 1 4 5 2 7 3 3 11 a±bS a+b a– 2b a– b a + 4b a– 5b a+ 2b a+ 7b a+ 3b a– 3b a–11b
• 36.
  36