21. modul persamaan lingkaran pak sukani
6 likes15,223 views
Dokumen ini adalah modul matematika untuk kelas XII SMK yang membahas tentang persamaan lingkaran, mencakup pusat dan jari-jari lingkaran, serta cara menentukan persamaan umumnya. Terdapat contoh dan latihan soal terkait cara menghitung persamaan lingkaran dan garis singgungnya. Modul ini bertujuan untuk membantu siswa memahami konsep persamaan lingkaran dalam bentuk yang berbeda.
21. modul persamaan lingkaran pak sukani
- 1. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1 PERSAMAAN LINGKARAN a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R x2 + y2 = R2 atau 22 yxR Contoh : 1 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan : a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8) Jawab : a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8) x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36 R = 22 86 = 6436 = 100 = 10 x2 + y2 = 102 x2 + y2 = 100 b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R A (x, y) PA = R R Rbyax 22 )()( atau : P (a, b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Contoh : 2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 c. x2 + (y – 5)2 = 36 c. x2 + y2 = 64 Jawab : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5 c. x2 + (y – 5)2 = 36 d. x2 + y2 = 64 Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8 Contoh 3 : Tentukan persamaan lingkaran dengan : a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab : a. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3 (x – 2)2 + (y – 5) = 72 (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 32 (x – 2)2 + (y – 5)2 = 49 (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9 Contoh 4 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 1 = 0. Jawab : 3x + 4y + 1 = 0 22 11 BA CByAx R (4, 3) R = 22 43 1)3.4()4.3( R
- 2. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2 R = 25 11212 = 5 25 = 5 Persamaan lingkaran : (x – 4)2 + (y – 3) = 52 (x – 4)2 + (y – 3) = 25 c. Persamaan Umum Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Dengan pusat lingkaran P { 2 1 A , 2 1 B} dan jari-jari R = CBA 22 4 1 4 1 Contoh 5 : Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab : Pusat = (3, 1) dan R = 5 (x – 3)2 + (y – 1)2 = 52 x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 25 x2 + y2 – 6x – 2y + 9 + 1 – 25 = 0 x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0 Contoh 6 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 b. x2 + y2 – 2x + 10y – 23 = 0 Jawab : a. Pusat = ( 2 1 . A , 2 1 . B) = ( 2 1 . 8 , 2 1 . (-6) = (-4, 3) Jari-jari R = CBA 22 4 1 4 1 = 9)6( 4 1 8 4 1 22 = 9916 = 16 = 4 b. Pusat = ( 2 1 . A , 2 1 . B) = ( 2 1 . (-2) , 2 1 . 10) = (1, -5) Jari-jari R = CBA 22 4 1 4 1 = )23()10( 4 1 )2( 4 1 22 = 23251 = 49 = 7 Soal laihan : 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari : a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab : …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran : a. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9 b. x2 + (y + 1)2 = 25 Jawab : …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung : a. sumbu x b. sumbu y Jawab : …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika : a. Pusat = (1, 3) dan R = 4 b. Pusat (-4, 1) dan R = 6
- 3. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3 Jawab : …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 b. x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 Jawab : …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. E. Persamaan Garis Singgung a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y1) adalah : x1 x + y1 y = r2 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 52 di titik (4, 6) Jawab : x1 x + y1 y = r2 x1 = 4 dan y1 = 6 4x + 6y = 52 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang ordinatnya 4. Jawab : x1 x + y1 y = r2 y1 = 4 x2 + 42 = 25 x2 = 25 – 16 = 9 x = 3 untuk x = 3 3x + 4y = 25 untuk x = –3 –3x + 4y = 25 b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y1) adalah : (x1 – a) (x – a) + (y1 – b ) (y – b) = R2 Contoh 3 : Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 yang melalui titik (4, 2). Jawab : Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x1 + 2) (x + 2) + (y1 – 3 ) (y – 3) = 25 (4 + 2) (x + 2) + (2 – 3) (y – 3) = 25 6x + 12 – y + 3 – 25 = 0 6x – y – 10 = 0 c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah : x1x +y1y + 2 1 Ax1 + 2 1 Ax + 2 1 By1 + 2 1 By + C = 0 Contoh : 4 Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0 melaui titik (3, 5). Jawab : x1x +y1y + 2 1 (-4)x1 + 2 1 (-4)x + 2 1 (8)y1 + 2 1 (8)y + 4 = 0 x1x +y1y – 2x1 – 2x + 4y1 + 4y + 4 = 0 3x + 5y – 2 (3) – 2x + 4 (5) + 4y + 4 = 0
- 4. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4 x + 9y – 6 + 20 + 4 = 0 x + 9y + 18 = 0 Soal latihan 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 40 di titik dengan absis = 2. Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 65 di titik (7, -4). Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (2, 0). Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran (x – 4)2 + (y + 1)2 – 32 = 0. Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 di titik (4, -1) Jawab : …………………………………………………………………………………………….. EVALUASI 7 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah …. a. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 e. x2 + y2 = 34 b. x2 + y2 = 34 d. x2 + y2 = 16 2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah …. a. x2 + y2 = 9 c. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 e. (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 b. x2 + y2 = 16 d. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah …. a. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 c. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 1 e. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 b. (x2 – 2)2 + (y + 1)2 = 1 d. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 4 4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 adalah …. a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6 b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6 5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 adalah …. a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 c. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 e. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari-jari 7 adalah …. a. x2 + y2 + 6x – 4y + 36 = 0 d. x2 + y2 – 6x + 4y – 36 = 0 b. x2 + y2 – 6x + 4y + 36 = 0 e. x2 + y2 – 6x – 4y – 36 = 0 c. x2 + y2 + 6x + 4y + 36 = 0 7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (4, -2) adalah …. a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0 b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0 8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah …. a. 6x2 + 3y2 = 45 c. 6x2 – 3y2 = 45 e. –3x2 – 6y2 = 45 b. 3x2 – 6y2 = 45 d. –3x2 + 6y2 = 45 9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (5, 7) adalah …. a. 4x + 3y + 43 = 0 c. 4x + 3y + 43 = 0 e. 3x + 4y – 43 = 0 b. 4x – 3y + 43 = 0 d. 3x + 4y – 43 = 0
- 5. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5 10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah …. a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0 b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4. Jawab : …………………………………………………………………………………………...... 2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0. Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ke bentuk umum. Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 di titik (1, 1). Jawab : …………………………………………………………………………………………….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1). Jawab : ……………………………………………………………………………………………..