Bab 3-pros stok
1 like7,048 views
Dokumen ini merupakan silabus untuk kursus Pengantar Proses Stokastik yang diajarkan oleh Khreshna I.A. Syuhada, M.Sc., PhD., dan mencakup topik-topik seperti rantai Markov, peluang transisi n-langkah, dan berbagai ilustrasi aplikasi dalam konteks nyata. Selain itu, terdapat latihan menggunakan program MATLAB dan pembahasan tentang karakteristik keadaan dalam proses stokastik. Tujuan utama dari kursus ini adalah untuk memberikan pemahaman mendalam tentang model-model probabilistik dan penerapannya dalam berbagai situasi.
 + [(0.3)(12) + (0.7)(8)](4/7)
= 62/7
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma](https://image.slidesharecdn.com/bab-3-prosstok-130519143618-phpapp01/85/Bab-3-pros-stok-131-320.jpg)
Bab 3-pros stok
- 1. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Markov Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. “Cerdas dan Stokastik” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 2. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Silabus Tujuan Silabus Definisi rantai Markov, sifat Markov, peluang transisi n-langkah, persamaan Chapman-Kolmogorov, jenis keadaan, recurrent dan transient, limit peluang transisi (kestasioneran). Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 3. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Silabus Tujuan Tujuan 1 Mempelajari model rantai Markov 2 Menghitung peluang transisi n-langkah 3 Menerapkan persamaan Chapman-Kolmogorov 4 Menentukan keadaan yang dapat diakses dan berkomunikasi 5 Menentukan keadaan-keadaan recurrent dan transient 6 Menghitung peluang transisi untuk jangka panjang Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 4. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 1 Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model). Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 5. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 2 “Pada 23 Juni lalu sekitar pukul 21.30 mobil yang dikemudikan suami saya terperosok masuk lubang di jalan tol lingkar luar Jakarta, kira-kira 2 kilometer dari Pintu Tol Pondok Ranji arah Jakarta. Ban dan gadi-gading roda rusak. Esoknya saya mengajukan klaim asuransi Sinar Mas kepada SiMas Bekasi. Pada 1 Juli saya mendapat jawaban bahwa klaim asuransi ditolak dengan alasan: bagian yang rusak hanya ban dan gading-gading roda. Tak mengenai badan mobil. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 6. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Padahal, tercantum jelas di dalam pasal-pasal polis asuransi maupun surat penolakan bahwa ban dan gading-gading roda tidak dijamin, kecuali disebabkan oleh Pasal 1 angka 1.1. Isi pasal itu, pertanggungan ini menjamin kerusakan yang secara langsung disebabkan oleh tabrakan, benturan, terbalik, tergelincir atau terperosok. Asuransi Sinar Mas berusaha menghindar dari kewajiban dengan alasan mengada-ada, bahkan mengingkari aturan yang dibuatnya sendiri” (Surat Pembaca KOMPAS; 03/08/2010). Andaikan suatu hari saya mengajukan klaim lagi ke Asuransi Sinar Mas, berapa peluang bahwa klaim saya akan diterima? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 7. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 3 Permainan. Foto. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 8. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 4 Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan “brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand”. Lyong (1998): “brand loyalty is a function of a brands’ relative frequency of purchase in both time-independent and time-dependent situations”. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 9. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 5 Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 10. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 6 Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Swari akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 11. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi 7 Hutang tak terbayar. Hutang atau rugi dimasa depan, milik siapa? Perlukah kita mengetahui (baca: memprediksi) kerugian dimasa depan? Bagaimana memodelkan kerugian? “segmentation algorithm”? “Markov chain”? “account’s behavioural score”? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 12. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN P = 0.85 0.09 0.01 0.00 0.01 0.01 0.03 0.05 0.76 0.12 0.04 0.01 0.00 0.02 0.03 0.08 0.70 0.15 0.03 0.00 0.01 0.01 0.04 0.03 0.70 0.12 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0.03 0.88 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 13. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Definisi Proses stokastik {Xn} adalah Rantai Markov: n = 0, 1, 2, . . . nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung P Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = Pij (∗) distribusi bersyarat Xn+1, diberikan keadaan-keadaan lampau (past states) X0, X1, . . . , Xn−1 dan keadaan sekarang (present state) Xn, hanya bergantung pada keadaan sekarang (“Sifat Markov”) keadaan-keadaan (states): i0, i1, . . . , in−1, i, j Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 14. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Pij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; Pij ≥ 0, i, j ≥ 0; ∞ j=0 Pij = 1, i = 0, 1, . . . Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 15. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Matriks peluang transisi Pij adalah P = P00 P01 P02 · · · P10 P11 P12 · · · ... ... ... Pi0 Pi0 Pi0 · · · ... ... ... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 16. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Diagram transisi keadaan Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 17. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Perhatikan (*): P Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = P Xn+1 = j|Xn = i = Pij , yang disebut sebagai peluang transisi 1-langkah atau one-step transition probability. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 18. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Peluang bersama P Xn = i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 dapat dihitung dengan sifat peluang bersyarat berikut. P Xn = i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = P Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 × P Xn = i | Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = P Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 × P Xn = i | Xn−1 = in−1 = · · · = pi0 · · · Pin−1,in Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 19. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Contoh/Latihan 1. Jika, pada waktu t, Rez mengajukan klaim asuransi, maka Rez akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Rez tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Rez akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 20. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: P = 1 − β β 1 − α α dengan keadaan-keadaan: ’0’ tidak mengajukan klaim ’1’ mengajukan klaim Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 21. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 2. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan “0, 1, 2” memiliki matriks peluang transisi: P = 0.1 0.2 0.7 0.9 0.1 0 0.1 0.8 0.1 dan P(X0 = 0) = 0.3, P(X0 = 1) = 0.4, P(X0 = 2) = 0.3. Hitung P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 22. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: 0 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 23. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 3. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 24. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: P = 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 dengan keadaan-keadaan: ’0’ (00) = hari ini dan kemarin hujan ’1’ (10) = hari ini hujan, kemarin tidak hujan ’2’ (01) = hari ini tidak hujan, kemarin hujan ’3’ (11) = hari ini dan kemarin tidak hujan Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 25. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 4. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan Xn menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 26. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: P = 0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0 dengan keadaan-keadaan: ’0’ terdapat 0 produk A di paket pertama ’1’ terdapat 1 produk A di paket pertama ’2’ terdapat 2 produk A di paket pertama ’3’ terdapat 3 produk A di paket pertama Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 27. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 5. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 28. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: P = 1/2 1/4 1/4 1/2 0 1/2 1/4 1/4 1/2 dengan keadaan-keadaan: ’0’ cuaca hujan ’1’ cuaca baik ’2’ cuaca salju Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 29. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 6. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan “0, 1, 2” memiliki matriks peluang transisi: P = 0.7 0.2 0.1 0 0.6 0.4 0.5 0 0.5 Hitung P(X2 = 1, X3 = 1 | X1 = 0) dan P(X1 = 1, X2 = 1 | X0 = 0) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 30. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: 0.12; 0.12 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 31. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan 7. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki. Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 32. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Peluang Transisi Contoh/Latihan Solusi: P = 3/4 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/4 3/4 dengan keadaan-keadaan: ’0’ (4,0) = 4 sepatu didepan, 0 dibelakang ’1’ (3,1) = 3 sepatu didepan, 1 dibelakang ’2’ (2,2) = 2 sepatu didepan, 2 dibelakang ’3’ (1,3) = 1 sepatu didepan, 3 dibelakang ’4’ (0,4) = 0 sepatu didepan, 4 dibelakang Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 33. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Definisi Misalkan Pn ij menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, Pn ij = P(Yk+n = j|Yk = i), n ≥ 0, i, j ≥ 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: Pn+m ij = ∞ k=0 Pn ikPm kj , (Buktikan!) untuk semua n, m ≥ 0 dan semua i, j. Pn ikPm kj menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n + m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 34. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Contoh/Latihan 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 35. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Solusi: P4 = 0.5749 0.4251 0.5668 0.4332 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 36. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: P = 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 37. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Solusi: P2 = 0.49 0.12 0.21 0.18 0.35 0.2 0.15 0.3 0.2 0.12 0.2 0.4 0.1 0.16 0.1 0.64 Peluang hujan pada hari Kamis adalah P2 00 + P2 01 = 0.49 + 0.12 = 0.61 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 38. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan 3. Tunjukkan bahwa matriks peluang transisi n-langkah memenuhi sifat: ∞ j=0 Pn+m ij = 1, i = 0, 1, . . . Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 39. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Solusi: Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 40. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan 4. Laila adalah mahasiswa tingkat akhir di Farmasi UnPadj. Dia tinggal tidak jauh dari kampus. Cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Laila menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada ditempat Laila berada maka Laila akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Laila selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Laila akan menuju kampus atau kos. Jika Laila memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses diatas! Berapa peluang Laila akan basah pada suatu hari? (Kerjakan dahulu matriks peluang transisi n-langkah) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 41. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Solusi: P = 0 0 0 1 0 0 1 − θ θ 0 1 − θ θ 0 1 − θ θ 0 0 dengan keadaan-keadaan: ’0’, ’1’, ’2’, ’3’ yang menyatakan jumlah payung Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 42. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan 5. Seorang tenaga penjual atau sales (SPG? SPB?) berjuang untuk menjual suatu produk sebanyak i = 0, 1, 2 buah. Proses jumlah produk yang terjual {Xn} membentuk rantai Markov dengan m.p.t: P = 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 Hitung P(Xn = 0| X0 = 0) untuk n = 0, 1, 2. Hitung P(X3 = 1| X1 = 0). Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 43. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Persamaan Chapman-Kolmogorov Contoh/Latihan Solusi: P(Xn = 0| X0 = 0) = P(X0 = 0) P(X1 = 0| X0 = 0) = 0 P(X2 = 0| X0 = 0) = 1/2 P(X3 = 1| X0 = 0) = 1/4 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 44. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan Definisi Misalkan αi = P(X0 = i), i ≥ 0, dimana ∞ i=0 αi = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P(Xn = j) = ∞ i=0 P(Xn = j|X0 = i) P(X0 = i) = ∞ i=0 Pn ij αi Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 45. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan 1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: P = 0.7 0.3 0.4 0.6 Jika diketahui α0 = P(X0 = 0) = 0.4 dan α1 = P(X0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 46. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan Solusi: P(X4 = 0) = 0.4 P4 00 + 0.6 P4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 47. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan 2. Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas dengan banyaknya uang yang dia punya dan sama dengan i dengan peluang Pi , i = 1, 2, 3, 4, 4 i=1 Pi = 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 48. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan Solusi : Keadaan-keadaannya adalah ‘1’ jumlah uang sebanyak 1 yang H punya di akhir bulan ‘2’ jumlah uang sebanyak 2 yang H punya di akhir bulan ‘3’ jumlah uang sebanyak 3 yang H punya di akhir bulan Matriks peluang transisi P = P2 + P3 + P4 P1 0 P3 + P4 P2 P1 P4 P3 P1 + P2 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 49. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Definisi Contoh/Latihan Misalkan Pi = 1/4, i = 1, 2, 3, 4. Maka matriks peluang transisinya adalah P = 3/4 1/4 0 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 Peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut adalah P4 31 = 201/256. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 50. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Latihan 1. Pandang suatu proses {Xn, n = 0, 1, . . .} yang bernilai 0, 1, 2. Misalkan P Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = PI ij , n genap, PII ij , n ganjil, dimana 2 j=0 PI ij = 2 j=0 PII ij = 1, i = 0, 1, 2. Apakah {Xn, n ≥ 0} suatu rantai Markov? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 51. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: Bukan. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 52. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 2. Pandang 3 paket/kotak barang berwarna MERAH, PUTIH, BIRU. Paket barang MERAH memuat 1 kaos merah dan 4 kaos biru; paket PUTIH memuat 3 kaos putih, 2 kaos merah dan 2 kaos biru; paket BIRU memuat 4 kaos putih, 3 kaos merah dan 3 kaos biru. Pada tahap awal, sebuah kaos diambil secara acak dari paket MERAH dan dikembalikan (lagi) ke paket tersebut. Pada setiap tahap berikutnya, sebuah kaos diambil secara acak dari paket yang berwarna sama dengan kaos yang terambil sebelumnya dan dikembalikan ke paket tersebut. Bentuklah matriks peluang transisi yang mungkin. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 53. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 1/5 0 4/5 2/7 3/7 2/7 3/10 4/10 3/10 dengan keadaan-keadaan: ’0’ Merah ’1’ Putih ’2’ Biru Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 54. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 3. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4. Bentuklah matriks peluang transisi dan tentukan kelas-kelas keadaan. Bentuk suatu rantai Markov. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 55. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 0.2 0.8 0 0 0 0 0.6 0.4 0.6 0.4 0 0 0 0 0.6 0.4 dengan keadaan-keadaan: ’0’ (SS) = hari ini dan kemarin SUKSES ’1’ (SG) = hari ini GAGAL, kemarin SUKSES ’2’ (GS) = hari ini SUKSES, kemarin GAGAL ’3’ (GG) = hari ini dan kemarin GAGAL Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 56. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 4. Dalam Perang Teluk, ada tiga buah tank yang bertahan: A, B dan C. Tank A dapat menembak sasaran dengan peluang 1/3, tank B dengan peluang 1/4 dan tank C dengan peluang 1/5. Dalam sebuah baku tembak, tank-tank akan terus menerus menembak secara bersamaan hingga hanya ada satu tank yang bertahan atau tidak ada tank yang bertahan sama sekali. Asumsikan bahwa sebuah tank secara acak memilih sebuah tank lain yang masih bertahan sebagai target. Tentukan matriks peluang transisi dari rantai Markov diatas. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 57. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/12 1/4 1/6 0 1/2 0 0 0 1/15 4/15 0 2/15 0 8/15 0 0 1/20 0 1/5 3/20 0 0 3/5 0 1/240 1/24 1/24 1/24 11/60 1/8 39/240 24/60 dengan keadaan-keadaan: ‘0’, ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘AB’, ‘AC’, ‘BC’, ‘ABC’ Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 58. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 5. Sebuah rantai Markov {Yt, t ≥ 0} dengan keadaan-keadaan 0,1,2 memiliki matriks peluang transisi: P = 1/2 1/3 1/6 0 1/3 2/3 1/2 0 1/2 Jika P(Y0 = 0) = P(Y0 = 1) = 1/4, hitung E(Y2). Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 59. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P2 = 4/12 5/18 14/36 1/3 1/9 5/9 1/2 1/6 4/12 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 60. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN E(Y2) = 0 P(Y2 = 0) + 1 P(Y2 = 1) + 2 P(Y2 = 2) = 0 + P(Y2 = 1|Y0 = 0) P(Y0 = 0) + P(Y2 = 1|Y0 = 1) P(Y0 = 1) + P(Y2 = 1|Y0 = 2) P(Y0 = 2) + 2 P(Y2 = 2|Y0 = 0) P(Y0 = 0) + P(Y2 = 2|Y0 = 1) P(Y0 = 1) + P(Y2 = 2|Y0 = 2) P(Y0 = 2) = P2 01 0.25 + P2 11 0.25 + P2 21 0.5 + 2 P2 02 0.25 + P2 12 0.25 + P2 22 0.5 = 71/72 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 61. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 6. Dua tim futsal wanita di MA-ITB akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 − α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) dimana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan A dan b banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah rantai Markov untuk masalah tersebut. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 62. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Catatan: a + b ≤ 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir apabila a = 4 atau b = 4. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 63. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: α α α α 1-α 1- α 1- α 1- α 4,1 4,2 4,34,0 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 1- α 0,1 0,2 0,40,30,0 0 0 α α α α 1,1 1,2 1,41,31,0 α α α α 2,1 2,2 2,42,32,0 α α α α 3,1 3,2 3,43,33,0 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 64. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB Contoh Model penyebaran suatu penyakit adalah sbb: Jumlah populasi adalah N = 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu, 2 orang akan dipilih secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orang-orang tersebut dilakukan sdh interaksi antara setiap pasangan adalah sama. Jika satu orang dari suatu pasangan sakit, yang lain sehat, maka penyakit akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0.1. Diluar kondisi tersebut, tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan Xn menyatakan jumlah orang yang sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi yang mungkin. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 65. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB Solusi: Keadaan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, yang menyatakan jumlah orang yang sakit. P00 = 1, P55 = 1. Cukup jelas. Jika tidak ada/semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada/semua orang sakit. Pi,i+1 = 0.1 Ci 1 C5−i 1 C5 2 = 0.01(i)(5 − i), Pii = 1 − 0.01(i)(5 − i), untuk i = 1, 2, 3, 4. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 66. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB P = 1 0 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 67. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB Kode: function transprob; % the function calculate transition probability % for a Markov chain % % created by K Syuhada, 12/03/2011 clear clc m = input(’m = ’); % number of states Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 68. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB P = zeros(m,m); for i = 1:m for j = 1:m if i == j P(i,j) = 1 - 0.01*(i-1)*(5-(i-1)); elseif i+1 == j P(i,j) = 0.01*(i-1)*(5-(i-1)); else P(i,j) = 0; end end end Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 69. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB display(’matriks peluang transisi:’) display(P) % n-step probability % Chapman-Kolmogorov Equation n = input(’n = ’); % number of steps Pn = P^n; display(’matriks peluang transisi n-langkah:’) display(Pn) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 70. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB ----------------------------------------------------------- m = 6 matriks peluang transisi: P = 1.0000 0 0 0 0 0 0.9600 0.0400 0 0 0 0 0.9400 0.0600 0 0 0 0 0.9400 0.0600 0 0 0 0 0.9600 0.040 0 0 0 0 0 1.000 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 71. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Contoh Kode MATLAB n = 2 matriks peluang transisi n-langkah: Pn = 1.0000 0 0 0 0 0 0.9216 0.0760 0.0024 0 0 0 0.8836 0.1128 0.0036 0 0 0 0.8836 0.1140 0.002 0 0 0 0 0.9216 0.078 0 0 0 0 0 1.000 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 72. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Sifat Dapat Diakses dan Berkomunikasi Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika Pn ij > 0 untuk suatu n ≥ 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaan i maka peluang masuk ke keadaan j dari keadaan i adalah nol. Catatan: Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i ↔ j. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 73. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 1 Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i ≥ 0 2 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 74. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat ‘identik’ (identical) atau ‘saling asing’ (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irreducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 75. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Contoh/Latihan 1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i) P = 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 76. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan (ii) P = 0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 77. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan (iii) P = 1 0 0 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 78. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 2. Diketahui matrik peluang transisi: P = 0.5 0.5 0 0.5 0.25 0.25 0 0.33 0.67 Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat direduksi (irreducible)? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 79. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut: P = 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1 ? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 80. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Empat gadis bermain bola: Tris, Sri, Berlian dan Yani. Jika Tris memegang bola, dia akan melemparkan bola tersebut ke Sri dan Yani dengan peluang sama. Jika Sri memegang bola, dia akan melemparkannya ke Tris dengan peluang 1/3 dan melemparkan ke Yani dengan peluang 2/3. Jika Berlian memegang bola, dia akan melemparkan bola ke Sri. Buatlah matriks peluang transisi untuk kasus: (i) Jika Yani memegang bola, dia akan melemparkannya ke Tris dengan peluang 2/3 atau membawa lari bola tersebut dengan peluang 1/3 (ii) Jika Yani memegang bola pertama kali, dia akan melemparkan ke Tris; Jika Yani memegang bola yang kedua kali, dia akan lari membawa bola tersebut. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 81. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Solusi: P = 0 0.5 0 0.5 1/3 0 0 2/3 0 1 0 0 2/3 0 0 1/3 dengan keadaan ’0’ Tris; ’1’ Sri; ’2’ Berlian; ’3’ Yani. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 82. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan fi peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika fi = 1. Dikatakan transient jika fi < 1. Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 83. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i, terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 − fi bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n−1 i (1 − fi ), n ≥ 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometrik dengan parameter 1 − fi . Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 84. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan “Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 85. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Misalkan In = 1, Yn = i; 0, Yn = i. Misalkan ∞ n=0 In menyatkan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam keadaan i, dan E ∞ n=0 In |Y0 = i = ∞ n=0 E(In|Y0 = i) = ∞ n=0 P(Yn = i|Y0 = i) = ∞ n=0 Pn ii Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 86. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Proposisi Keadaan i adalah recurrent jika ∞ n=0 Pn ii = ∞ transient jika ∞ n=0 Pn ii < ∞ Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 87. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Catatan: Pada rantai Markov dengan keadaan hingga, tidak semua keadaan bersifat transient (Mengapa?) “Jika keadaan i recurrent dan keadaan i berkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaan j recurrent” (Bagaimana jika keadaan i transient?) Semua keadaan pada rantai Markov (hingga) yang tidak dapat direduksi adalah recurrent (PENTING!) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 88. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Contoh/Latihan 1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = 0 0 0.5 0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 89. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Solusi: Semua keadaan recurrent. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 90. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 2. Bagaimana dengan rantai Markov (keadaan: 0,1,2,3,4) dengan matriks peluang transisi: P = 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0.25 0.25 0 0 0.5 ? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 91. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Solusi: Keadaan 0,1,2,3 recurrent, keadaan 4 transient. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 92. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 3. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1 Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 93. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Solusi: Keadaan 0,1,3 recurrent, keadaan 2 transient. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 94. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan 4. Model penyebaran penyakit memiliki matriks peluang transisi (keadaan: 0,1,2,3,4,5) sebagai berikut: P = 1 0 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 1 Tentukan sifat keadaan dari rantai Markov diatas. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 95. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Keadaan Dapat Diakses dan Berkomunikasi Contoh/Latihan Latihan Keadaan Recurrent dan Transient Contoh/Latihan Solusi: Keadaan 0,5 recurrent, keadaan 1,2,3,4 transient. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 96. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Ilustrasi Dalam suatu kesempatan, sejumlah pemain bola berdoa bersama. David Beckham bertanya pada Tuhan:“Kapan Inggris menjadi juara Piala Dunia?” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 97. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Tuhan menjawab: “Tahun 2014”. Beckham pun menangis. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 98. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Giliran Christiano Ronaldo, kapten timnas Portugal, bertanya: “Tuhan, kapan Portugal merebut Piala Dunia?” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 99. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Tuhan pun langsung menjawab “Tahun 2022”. Dan Ronaldo pun menangis. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 100. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Park-Ji Sung tidak mau ketinggalan. Dia bertanya “kapan Korea menjadi juara, Tuhan?” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 101. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Tuhan menjawab “ya... 20 tahun lagi”. Park-Ji Sung menangis. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 102. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Akhirnya Bambang Pamungkas pun tak tahan untuk bertanya: “Kapan Indonesia bisa menjadi juara Piala Dunia, ya Tuhan?” Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 103. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Tuhan pun menangis dan berseru “kalau mimpi kira-kira dong”. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 104. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Misalkan ‘0’ keadaan belum pernah juara dan ‘1’ keadaan pernah juara. Matriks peluang transisi yang dapat dibentuk adalah P = 0.9 0.1 0.3 0.7 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 105. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Matriks peluang transisi 8 dan 12 langkahnya: P8 = 0.7542 0.2458 0.7374 0.2626 dan P12 = 0.7505 0.2495 0.7484 0.2516 ...dst. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 106. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Matriks P12 hampir identik dengan P8 (benar-benar identik dengan P16). Selain itu, setiap baris dari P12 memiliki unsur yang identik. Nampaknya, Pn ij konvergen ke suatu nilai, untuk n → ∞, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang (limiting probability) bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian/banyak langkah/transisi. Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 107. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Definisi Perhatikan 2 sifat keadaan berikut: Keadaan i dikatakan memiliki periode d jika Pn ii = 0 untuk n yang tidak dapat dibagi oleh d (d suatu integer). Contoh, suatu proses dimulai dari keadaan i akan kembali ke i pada waktu 2, 4, 6, 8, . . . , maka keadaan i memiliki periode 2. Suatu keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik. Jika keadaan i memiliki periode d dan keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j juga memiliki periode d. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 108. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada rantai Markov yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan yang recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 109. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Teorema Untuk rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim n→∞ Pn ij ada dan saling bebas dari i. Misalkan πj = lim n→∞ Pn ij , j ≥ 0, maka πj adalah solusi nonnegatif tunggal dari πj = ∞ i=0 πi Pn ij , j ≥ 0, dengan ∞ j=0 πj = 1. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 110. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Catatan: Perhatikan bahwa P(Xn+1 = j) = ∞ i=0 P(Xn+1 = j|Xn = i) P(Xn = i) = ∞ i=0 Pij P(Xn = i) Limit peluang πj adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 111. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Jika rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk πj = i πi Pij , j ≥ 0, dengan j πj = 1, JIKA dan HANYA JIKA rantai Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada maka solusi tersebut tunggal dan πj adalah proporsi jangka panjang bahwa rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika rantai Markov aperiodik maka πj adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 112. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Contoh/Latihan 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Jika 0 adalah keadaan hujan dan 1 adalah keadaan tidak hujan maka peluang hujan dan tidak hujan untuk jangka panjang adalah Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 113. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Solusi: P = α 1 − α β 1 − β , dan kita punyai persamaan-persamaan: π0 = α π0 + β π1 π1 = (1 − α) π0 + (1 − β) π1 π0 + π1 = 1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 114. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Kita peroleh peluang hujan dan tidak hujan pada jangka panjang: π0 = β 1 + β − α dan π1 = 1 − α 1 + β − α Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 115. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 116. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Solusi: P = 0.8 0.2 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 dengan keadaan-keadaan: ’0’ (SS) = hari ini dan kemarin SUKSES ’1’ (SG) = hari ini GAGAL, kemarin SUKSES ’2’ (GS) = hari ini SUKSES, kemarin GAGAL ’3’ (GG) = hari ini dan kemarin GAGAL Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 117. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Kita punyai persamaan-persamaan: π0 = π1 = π2 = π3 = dan π0 + π1 + π2 + π3 = 1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 118. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Diperoleh: π0 = 23/50; π1 = π2 = π3 = 9/504. Jadi, peluang SUKSES jangka panjang adalah π0 + π1 = 32/50 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 119. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan 3. Pandang pelantunan-pelantunan sebuah koin (dengan peluang muncul MUKA adalah θ) yang saling bebas. Berapa banyak lantunan dibutuhkan yang diharapkan (expected number of tosses needed) agar pola HTHT muncul? (Perhatikan catatan dibawah) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 120. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Ilustrasi Definisi Contoh/Latihan Catatan: Peluang jangka panjang πj , j ≥ 0, disebut juga peluang stasioner (stationary probability). Jika keadaan awal dipilih berdasarkan peluang πj , j ≥ 0, maka peluang akan menjadi keadaan j pada setiap waktu n adalah sama dengan πj . Untuk keadaan j, definisikan mjj yaitu banyak transisi yang diharapkan (expected number of transitions) hingga suatu rantai Markov, dimulai dari keadaan j akan kembali ke keadaan tersebut: πj = 1 mjj Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 121. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 1. Seorang dosen KS terus menerus memberikan ujian kepada mahasiswanya. Dosen KS memberikan 3 tipe/jenis ujian dengan hasil BAGUS atau JELEK. Misalkan θi adalah peluang bahwa mahasiswa mengerjakan BAGUS untuk ujian tipe i. Diketahui θ1 = 0.3, θ2 = 0.6, θ3 = 0.9. Jika mahasiswa mengerjakan dengan BAGUS pada suatu ujian maka tipe ujian berikut yang akan dikerjakan memiliki peluang sama. Jika hasil ujian JELEK maka ujian berikut adalah ujian tipe 1. Bentuklah rantai Markov untuk cerita diatas. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 122. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 0.8 0.1 0.1 0.6 0.2 0.2 0.4 0.3 0.3 dengan keadaan ’1’ Ujian 1; ’2’ Ujian 2; ’3’ Ujian 3. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 123. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 2. Misalkan koin 1 memiliki peluang muncul MUKA 0.7 ketika dilantunkan sedangkan peluang muncul MUKA untuk koin 2 adalah 0.6. Jika sebarang koin dilantunkan hari ini dan muncul MUKA maka besok dilantunkan koin 1. Jika muncul BELAKANG maka besok akan dilantunkan koin 2. Jika peluang koin 1 terpilih untuk dilantukan pertama kali adalah 0.5, tentukan peluang bahwa pada hari ketiga akan dilantunkan koin 1. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 124. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Suppose that coin 1 has probability of coming up heads and coin 2 has probability 0.6 of coming up heads. If the coin flipped today comes up heads, then we select coin 1 to flip tomorrow. If it comes up tails then we select coin 2 to flip tomorrow. If the coin initially flipped is equally likely to be coin 1 or coin 2, then what is the probability that the coin flipped on the third day after the initial flip is coin 1? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 125. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 0.7 0.3 0.6 0.4 dengan keadaan ’1’ Koin 1; ’2’ Koin 2. Diketahui P(X0 = 1) = P(X0 = 2) = 0.5, sehingga P(X3 = 1) = P3 11 P(X0 = 1) + P3 21 P(X0 = 2) = 2/3 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 126. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 3. Bentuklah suatu matriks peluang transisi dari rantai Markov yang memenuhi semua aturan berikut: memiliki tiga keadaan atau lebih, tidak ada satu pun keadaan yang absorbing, tidak dapat direduksi, memiliki periode dua, setidaknya satu keadaan bersifat transient, dan satu unsur dari matriks bernilai nol. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 127. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: Tidak ada matriks peluang transisi yang memenuhi semua aturan. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 128. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 4. Setiap minggu pagi Vivian meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Vivian akan pergi lewat pintu depan dengan peluang dua kali lebih besar daripada pergi lewat pintu belakang. Ketika meninggalkan rumah Vivian memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Vivian akan masuk lewat pintu depan atau belakang, dan meletakkan sepatunya, dengan peluang sama. Jika dia memiliki 2 pasang sepatu olah raga, berapa peluang Vivian akan sering berolah raga dengan memakai sepatu? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 129. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 2/3 1/3 0 1/6 3/6 2/6 0 1/6 5/6 dengan keadaan ’0’=(2,0); ’1’=(1,1); ’2’=(0,2). Diperoleh π0 =; π1 =; π2 = Jadi, peluang Vivian akan sering berolahraga dengan memakai sepatu adalah (2/3)π0 + π1 + (1/3)π2 = Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 130. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 5. Seorang sopir taksi melayani penumpang yang bepergian di 2 area dalam suatu kota. Penumpang taksi yang naik di area A akan turun di area A juga dengan peluang 0.6. Penumpang yang naik di area B akan turun di area A dengan peluang 0.3. Keuntungan yang diharapkan (expected profit) sopir taksi untuk pelayanan selama di area A adalah 6 dan selama di area B adalah 8. Keuntungan yang diharapkan apabila pelayanan taksi melintasi 2 area adalah 12. Hitung keuntungan rata-rata sopir taksi untuk suatu pelayanan. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 131. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Solusi: P = 0.6 0.4 0.3 0.7 dengan keadaan ’0’ Area A; ’1’ Area B. Diperoleh π0 = 3/7, π1 = 4/7. Misalkan X keuntungan dalam suatu pelayanan E(X) = E(X|A) π0 + E(X|B) π1 = [(0.6)(6) + (0.4)(12)](3/7) + [(0.3)(12) + (0.7)(8)](4/7) = 62/7 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 132. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 6. Misalkan P suatu matriks peluang transisi. Tunjukkan bahwa j Pn ij = 1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 133. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN 7. Misalkan matriks peluang transisi untuk keadaan 0,1,2: P = 1 0 0 a b c 0 0 1 dengan syarat a > 0, b > 0, c > 0. Keadaan 0 dan 2 adalah keadaan yang absorbing. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 134. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Pandang proses yang dimulai dari keadaan 1, maka 1 → 1 → 0 atau 1 → 1 → 2 Pertanyaan: Berapa lama proses akan berada di keadaan 1 sebelum akhirnya ke keadaan 0 atau 2? Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma
- 135. Silabus dan Tujuan Perkuliahan Ilustrasi Rantai Markov Peluang n-langkah Peluang Transisi Tak Bersyarat Latihan Program MATLAB Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi LATIHAN Dengan kata lain, misalkan T = min{n : Xn = 0 atau Xn = 2} maka hitung E(T | X0 = 1) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Rantai Ma