himpunan
- 2. 2 Definisi • Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. • Himpunan biasanya dinyatakan oleh huruf besar, A, B, X, Y, ……, bila perlu dengan indeks, dan elemennya dinyatakan oleh huruf kecil a, b, x, y, ……, bila perlu dengan indeks pula.
- 3. 3 Keanggotaan Himpunan x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A; x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 1. • Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 ∈ A {a, b, c} ∈ R c ∉ R {} ∈ K {} ∉ R
- 4. 4 Cara Penyajian Himpunan 1. Pendaftaran/tabular form Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh 3. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
- 5. 5 2. Bentuk Pencirian/ set builder form Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x ∈ P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matif1 }
- 6. 6 4. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U 1 2 5 3 6 8 4 7 A B
- 7. 7 Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh 6. (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
- 8. Himpunan semesta (universal set) • Notasi: U atau S • Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan • Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam himpunan semesta Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4} 9
- 9. 10 Himpunan Bagian (Subset) • Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. • Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. • Notasi: A ⊆ B • Diagram Venn:
- 10. 11 Himpunan yang Sama • A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. • A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B. • Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
- 11. 12 Contoh . (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C
- 12. 13 Himpunan yang Ekivalen • Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. • Notasi : A ~ B ↔ A = B Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
- 13. 14 Himpunan Saling Lepas • Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. • Notasi : A // B • Diagram Venn: U A B Contoh 11. Jika A = { x | x ∈ P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
- 14. 15 Himpunan Kuasa(Power Set) • Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. • Notasi : P(A) atau 2A • Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} A = 2, maka P(A) = 22 =4 Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅}, dan himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}.
- 15. 16 Contoh 14. � = {∅, ሼ�ሼ, �} Subset dari � adalah ∅, ሼ∅ሼ, ሼ�ሼ, ሼ�ሼ, ∅, ሼ�ሼ, ሼ∅, �ሼ, ሼ�ሼ, � , dan {∅, ሼ�ሼ, �} Maka power set dari A adalah �ሼ�ሼ= {∅, ሼ∅ሼ, ሼ�ሼ, ሼ�ሼ, ∅, ሼ�ሼ, ሼ∅, �ሼ, ሼ�ሼ, � , {∅, ሼ�ሼ, �}}
- 16. 17 Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) • Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Contoh 15 (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∩ B = ∅. Artinya: A // B
- 17. 18 2. Gabungan (union) • Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Contoh 16. (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A ∪ B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A ∪ ∅ = A
- 18. 19 3. Komplemen (complement) • Notasi : = { x | x ∈ U, x ∉ A } Contoh 17. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 ∈ P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
- 19. 20 Contoh 18. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i)“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B) (ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A ∩ C ∩ D (iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
- 20. 21 4. Selisih (difference) • Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ Contoh 19 (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = ∅ (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
- 21. 22 5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A) Contoh 20. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }
- 22. 23 Hukum-hukum Himpunan • Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan • Disebut juga hukum aljabar himpunan 1. Hukum identitas: − A ∪∅= A − A ∩U = A 2. Hukum null/dominasi: − A ∩∅= ∅ − A ∪U = U 3. Hukum komplemen: − A ∪A = U − A ∩A = ∅ 4. Hukum idempoten: − A ∪A = A − A ∩A = A
- 23. 24 5. Hukum involusi: − = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): − A ∪ (A ∩ B) = A − A ∩ (A ∪ B) = A 7. Hukum komutatif: − A ∪ B = B ∪ A − A ∩ B = B ∩ A 8. Hukum asosiatif: − A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C − A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 9. Hukum distributif: − A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) − A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 10. Hukum De Morgan: − = − = 11. Hukum 0/1 − = U − = ∅
- 24. 25 Himpunan Berhingga dan tak berhingga • Himpunan yang banyak anggotanya berhingga , notasi: � = {�1, �2, �3, … , �� } • Himpunan yang banyak anggotanya tak berhingga, notasi: � = {�1, �2, �3, … . }
- 25. 26 Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B: A ∪B= A+ B– A ∩B A ⊕B= A+B– 2A ∩B
- 26. 27 Contoh 21. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), Yang ditanyakan adalah A ∪ B. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A ∩ B = 100/15 = 6 A ∪ B = A + B – A ∩ B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.