Induksi Matematika
6 likes18,468 views
Dokumen ini menjelaskan tentang induksi matematika sebagai metode pembuktian teorema dalam matematika, yang meliputi langkah-langkah buktikan untuk n = 1 dan misalkan untuk n = k. Dua contoh pembuktian dengan induksi matematika diberikan, yaitu untuk penjumlahan bilangan bulat dan deret tertentu, menunjukkan bahwa teorema berlaku untuk semua bilangan asli. Konsep ini diilustrasikan dengan analogi efek jatuhnya domino.
Induksi Matematika
- 1. Induksi matematika Oleh: Emanueli Mendrofa,S.Pd
- 2. Untuk membuktikan teorema umum atau rumus dalam matematika, kita dapat menggunakan cara deduksi dan induksi. Pembuktian dengan cara deduksi adalah pembuktian dari hal yang umum ke hal yang khusus. Sebaliknya, pembuktian dengan cara induksi adalah pembuktian dari hal yang khusus ke hal yang umum. Pembuktian dengan cara induksi dalam matematika dikenal dengan induksi matematika.
- 3. Langkah-langkah dalam pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut: 1. Kita buktikan bahwa teorema atau rumus adalah benar untuk n = 1. 2. Misalkan teorema atau rumus benar untuk n = k. Kemudian, buktikan bahwa teorema atau rumus juga benar untuk n = k + 1. Akibat dari 1 dan 2, teorema atau rumus berlaku untuk n = 2, 3, 4, . . . . Jadi, rumus atau teorema benar untuk semua n bulat positif atau bilangan asli.
- 4. Prinsip induksi matematika dapat diibaratkan seperti efek jatuhnya domino. Pengecekan P(1) benar dapat disebut sebagai permulaan jatuhnya domino. Sedangkan pembuktian P(k+1) benar jika P(k) diasumsikan benar dan merupakan efek jatuh beruntun domino, sehingga P(1) benar, maka P(2) benar. P(2) benar maka P(3) benar, dan seterusnya hingga P(n) untuk n ke berapapun, sehingga dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n.
- 5. Contoh1: Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 𝑃 𝑛 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑛 = 𝑛 (𝑛 + 1) 2 berlaku untuk setiap bilangan asli n. Jawab: • Rumus benar untuk n = 1, karena 1 (1 + 1) 2 = 2 2 = 1 • Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga 𝑃 𝑘 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 = 𝑘 (𝑘 + 1) 2 merupakan pernyataan yang benar . . . . (1) • Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau 𝑃 𝑘 + 1 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 + 𝑘 + 1 = 𝑘+1 (𝑘+1 + 1) 2 .......... (2)
- 6. Kita mulai dari pernyataan (1) 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 = 𝑘 (𝑘 + 1) 2 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 + 𝑘 + 1 = 𝑘 𝑘 + 1 2 + (𝑘 + 1) = 𝑘 𝑘 + 1 2 + 2(𝑘 + 1) 2 = 𝑘 𝑘 + 1 + 2(𝑘 + 1) 2 = 𝑘 + 1 (𝑘 + 2) 2 = 𝑘 + 1 (𝑘 + 1 + 1) 2 Jadi,𝑃 𝑛 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑛 = 𝑛 (𝑛 + 1) 2 berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tambahkan kedua ruas dengan (𝑘 + 1) Hasil ini sama dengan(2)
- 7. Contoh2: Buktikan bahwa pernyataan: 𝑆 𝑛 ∶ 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑛−1)(2𝑛+1) = 𝑛 2𝑛+1 berlaku untuk setiap bilangan asli n. Jawab: • Rumus benar untuk n = 1, karena: Ruas kanan = 1 (2.1−1)(2.1+1) = 1 2+1 Ruas kiri = 1 2+1 • Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga 𝑆 𝑘 ∶ 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑘−1)(2𝑘+1) = 𝑘 2𝑘+1 merupakan pernyataan yang benar . . . . (1)
- 8. • Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau 𝑆 𝑘 + 1 ∶ 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑘−1)(2𝑘+1) + 1 (2𝑘+1)(2𝑘+3) = 𝑘+1 2𝑘+3 ............(2) Kita mulai dari pernyataan (1) 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1) = 𝑘 2𝑘 + 1 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1) + 1 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) = 𝑘 2𝑘 + 1 + 1 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) = 𝑘(2𝑘 + 3) (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) + 1 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) = 𝑘 2𝑘 + 3 + 1 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) Tambahkan kedua ruas dengan (𝑘 + 1)
- 9. = 𝑘 2𝑘 + 3 + 1 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) = (2𝑘 + 1)(𝑘 + 1) (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) = (𝑘 + 1) (2𝑘 + 3) Jadi, 𝑆 𝑛 ∶ 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 (2𝑛−1)(2𝑛+1) = 𝑛 2𝑛+1 berlaku untuk setiap bilangan asli n. Hasil ini sama dengan(2)
- 10. Tugas: Buktikan bahwa 𝑆 𝑛 ∶ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = 1 6 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) Berlaku untuk semua bilangan asli n.
- 11. Jawab: • Rumus benar untuk n = 1, karena Ruas kanan = 𝑛2 = 12 = 1 Ruas kiri = 1 6 1 1 + 1 2.1 + 1 = 1 • Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga 𝑆 𝑘 ∶ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 = 1 6 𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) merupakan pernyataan yang benar . . . . (1) • Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau 𝑆 𝑘 + 1 ∶ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + (𝑘2 + 2𝑘 + 1) = 1 6 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)............(2)
- 12. Kita mulai dari pernyataan (1) 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 = 1 6 𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = 1 6 𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = 𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 6 + 𝑘 + 1 2 = 𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 6(𝑘 + 1)(𝑘 + 1) 6 = 𝑘 + 1 {𝑘 2𝑘 + 1 + 6 𝑘 + 1 } 6 = 𝑘 + 1 (2𝑘2 + 𝑘 + 6𝑘 + 6) 6
- 13. = 𝑘 + 1 (𝑘 + 2)(2𝑘 + 3) 6 = 1 6 𝑘 + 1 (𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)