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![最大フローとは
有向グラフ 𝐺 = 𝑉, 𝐸 において、各有向辺 𝑒 に負でない実数 𝑐(𝑒), 𝑒 ∈ 𝐸 が定
められているとする。
[定義]
フローとは、 𝐺 の各有向辺 𝑒 に負でない値 𝑓 𝑒 を割り当てる関数 𝑓 が存在し、次
の性質を満たすものをいう。
・ e ∈ 𝐸に対して f e ≤ 𝑐 𝑒
・ v ∈ 𝑉 ∖ {𝑠, 𝑡} に対して 𝑒 ∈ 𝛿− 𝑣 𝑓 𝑒 = 𝑒 ∈ 𝛿+ 𝑣 𝑓(𝑒)
𝑒 ∈ 𝛿+ 𝑠 𝑓 𝑒 = 𝑒 ∈ 𝛿− 𝑡 𝑓(𝑒) = フロー値
フロー値が最大になるフローを最大フローという](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-6-2048.jpg)
![カットとは
[定義]
頂点集合の任意の分割 S, V ∖ 𝑆 を考える。
S から V ∖ 𝑆 に出ていく辺の集合をカットと言い、 S, V ∖ 𝑆 と表す。
特に、s ∈ 𝑆 , t ∈ 𝑉 ∖ 𝑆のとき𝑠 − 𝑡 カットという
s-t カットに含まれる辺全てを削除すると、 𝑠 − 𝑡パスがなくなる
カットに含まれる辺の容量の総和をカットの容量という
最小カットとは、任意の 𝑠 − 𝑡 カットのうち、カットの容量が最小のもの](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-35-2048.jpg)
![最大フロー・最小カットの定理
[定理]
任意のネットワークにおいて、最大フローの値は、最小カットの容量に
等しい
𝑠
𝑢1
𝑢3
𝑢2
𝑢5
𝑢4
𝑡
1/1
1/4
3/3
1/4
2/2
1/1
1/1 2
3/4
2/2
1/1](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-40-2048.jpg)
![証明
[証明の流れ]
1) 任意のフロー f の流量 ≤ 最小カットの容量
2) Ford-Fulkerson で得られたフロー f’の流量 = 最小カットの容量
この二つを示すことができれば、
f’ が最大フローであり、同時に最大フロー・最小カットの定理を示せる。](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-42-2048.jpg)
![問題(KUPC2014 H)
https://qupc2014.contest.atcoder.jp/tasks/qupc2014_h
[問題概要]
M 頂点 N 辺 の重みつき有向グラフと整数 P、さらに頂点番号 𝐿0, 𝐿1, … 𝐿 𝐺−1 が与
えられる。各頂点には魔法使いが一人づつ存在し、𝐿𝑖 (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐺 − 1) にいる魔
法使いは無制限に魔力を得ることができる。各辺の重みを超えないようにうまく魔
力を伝達した時に、頂点 0 に P 以上の魔力を送ることができるかどうかを答えよ
[制約]
1 ≤ 𝑁 ≤ 500
1 ≤ 𝑀 ≤ 500](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-51-2048.jpg)
![問題 (ABC010 D)
https://beta.atcoder.jp/contests/abc010/tasks/abc010_4
[問題概要]
SNS の友人関係を表す無向グラフが与えられる。
なぎさちゃんは高橋君に自分以外の女と連絡を取ってほしくない。
なぎさちゃんは以下のような工作ができる。
- 友人関係を一つ解消
- 一人のパスワードを変更し、メッセージを閲覧不可能にする
なぎさちゃんが工作を行う回数の最小値を出力してください
[制約]
1 ≤ 𝑉 ≤ 100](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-57-2048.jpg)
![問題 (ACPC 2018 I)
https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/I
[問題]
文字列のリストが与えられ、しりとりを以下のルールで行う。
1) まず最初に、リストの中から好きな文字列を一つ選び、その文字列をリストから
除外する。
2) 続いて、一つ前に選んだ文字列の最後の一文字が、最初の一文字である文字
列をリストから一つ選ぶ。
3) 選んだ文字列をリストから除外する。
この後、2., 3.を交互に繰り返すことになる。
さて、このしりとりを2.でリストから選べる文字列がなくなるまで続けたとしよう。 こ
のときに、最後に選んだ文字列の「最後の一文字」としてあり得る文字をすべて列
挙したい。](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-68-2048.jpg)
![問題 (ACPC 2018 I)
https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/I
[制約]
1 ≤ 𝑁 ≤ 104
1 ≤ 𝑠𝑖 ≤ 100](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-69-2048.jpg)
![考察
[入力]
7
she
sells
sea
shells
by
the
seashore
与えられた入力をグラフにしてみる（自己ループは無視)
Ｓ e
at
b y](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-70-2048.jpg)
![考察
[入力]
7
she
sells
sea
shells
by
the
seashore
与えられた入力をグラフにしてみる（自己ループは無視)
Ｓ e
at
b y](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-71-2048.jpg)
![問題(ICPC 国内予選 2009 E)
http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=1163&lang=jp
[問題概要]
青いカードが m 枚、赤いカードが n 枚あり、それぞれに1 ≤ 𝑥 ≤ 107
の整数が書かれている。赤のカードと青のカードから互いに素でない
ペアを選んで取り除く操作を行う。適切に操作を行った時、最大何組
のペアが取り除かれるか？
[制約]
1 ≤ 𝑚, 𝑛 ≤ 500](https://image.slidesharecdn.com/maxflow-190108043506/75/max-flow-78-2048.jpg)
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- 31. Ford-Fulkersonのアルゴリズム • (1)流す余地のある辺と、流した容量分の逆辺のみを使って、 sから t へのパスを見つける • (2)見つかれば目一杯流して、(1)に戻る。見つからなければ終了 𝑠 𝑢2 𝑢1 𝑢3 6/8 1/2 10/10 4/6 t 5/5 3 6/6 10 4 ５ ５ ５
- 32. Ford-Fulkersonのアルゴリズム • (1)流す余地のある辺と、流した容量分の逆辺のみを使って、 sから t へのパスを見つける • (2)見つかれば目一杯流して、(1)に戻る。見つからなければ終了 𝑠 𝑢2 𝑢1 𝑢3 6/8 1/2 10/10 4/6 t 5/5 3 6/6 10 4 ６ ５ ５ 1 逆辺を張りなおしても、 パスが見つからない
- 33. Ford-Fulkersonのアルゴリズム • (1)流す余地のある辺と、流した容量分の逆辺のみを使って、 sから t へのパスを見つける • (2)見つかれば目一杯流して、(1)に戻る。見つからなければ終了 𝑠 𝑢2 𝑢1 𝑢3 6/8 1/2 10/10 4/6 t 5/5 3 6/6 10 4 ６ ５ ５ 1 逆辺含めたグラフを 残余グラフという
- 34. Ford-Fulkersonのアルゴリズム • アルゴリズムの正当性は後程 • パスを見つけては更新の繰り返し •DFS でパスを見つける • 最大フローの流量を F とすると高々 F 回 DFS が行われる • 最悪計算量は 𝑂 𝐹 𝐸 + 𝑉
- 35. カットとは [定義] 頂点集合の任意の分割 S, V∖ 𝑆 を考える。 S から V ∖ 𝑆 に出ていく辺の集合をカットと言い、 S, V ∖ 𝑆 と表す。 特に、s ∈ 𝑆 , t ∈ 𝑉 ∖ 𝑆のとき𝑠 − 𝑡 カットという s-t カットに含まれる辺全てを削除すると、 𝑠 − 𝑡パスがなくなる カットに含まれる辺の容量の総和をカットの容量という 最小カットとは、任意の 𝑠 − 𝑡 カットのうち、カットの容量が最小のもの
- 36. カットとは C = {𝑢1, 𝑢4 , 𝑢2, 𝑢4 , 𝑢2, 𝑢5 , 𝑢3, 𝑢5 } はカット? はい。 カットの容量は? 8です。 𝑠 𝑢1 𝑢3 𝑢2 𝑢5 𝑢4 𝑡 1 4 3 4 2 1 1 2 4 2 1
- 37. カットとは C = {𝑠, 𝑢1 , 𝑠, 𝑢2 𝑠, 𝑢3 } はカット? はい。 カットの容量は? 8です。 𝑠 𝑢1 𝑢3 𝑢2 𝑢5 𝑢4 𝑡 1 4 3 4 2 1 1 2 4 2 1
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- 39. カットとは C = {𝑠, 𝑢1 , 𝑠, 𝑢2 𝑢3, 𝑢5 } はカット? はい。 カットの容量は? 5です。 𝑠 𝑢1 𝑢3 𝑢2 𝑢5 𝑢4 𝑡 1 4 3 4 2 1 1 2 4 2 1
- 40.
- 41. 証明 • 証明したいことは二つ • Ford-Fulkersonのアルゴリズムの正当性 • 最大フロー・最小カットの定理
- 42. 証明 [証明の流れ] 1) 任意のフロー fの流量 ≤ 最小カットの容量 2) Ford-Fulkerson で得られたフロー f’の流量 = 最小カットの容量 この二つを示すことができれば、 f’ が最大フローであり、同時に最大フロー・最小カットの定理を示せる。
- 43. 任意のフロー f の流量≤ 最小カットの容量 任意のフロー 𝑓と任意のカット (S, V∖S) を考える (𝑓の流量) = 𝑒 ∈ 𝛿+ (𝑠) 𝑓(𝑒) であり、 𝑣 ∈ 𝑆 ∖ 𝑠 に対して 𝑒 ∈ 𝛿−(𝑣) 𝑓(𝑒) = 𝑒 ∈ 𝛿+(𝑣) 𝑓(𝑒)であるので (𝑓の流量) = (Sから出ていく辺の流量) – (Sに入ってくる辺の容量) ≤ (カットの容量) 𝑠 𝑢2 𝑢1 𝑢3 𝑓(𝑒1) t 𝑓(𝑒2) 𝑓(𝑒4) 𝑓(𝑒3) 𝑓(𝑒5) 𝑓(𝑒7) 𝑓(𝑒6)
- 44. f’の流量 = 最小カットの容量 f’に対する残余グラフにおいて、 s-vパスの存在するような頂点 v からなる集合を S とする。 f’ の残余グラフにおいてs-tパスが存在しないので、(S, V∖S)は s-t カットとなる。 また, S の性質より S から V ∖ Sに向かう辺 e について f’(e) = c(e) V ∖ S から S に向かう辺 e について f’(e) = 0 したがって (f’の流量) = (Sから出る辺の流量) - (Sに入る辺の流量) = (カットの容量) 𝑠 𝑢2 𝑢1 𝑢3 6/8 1/2 10/10 4/6 t 5/5 3 6/6 10 4 ６ ５ ５ 1
- 45.
- 46.
- 47. 競プロの話 • フローのアルゴリズムは複雑なので、ライブラリ化するのがおすすめ • 最大流を計算するクラスを用意 •メンバ関数は以下の二つ - add_edge(int from, int to, int cap) := 辺を追加する - max_flow(int s, int t) := s から t への最大フロー値を求める
- 48.
- 49. 身も蓋もない話 • 最大流問題を解くアルゴリズムはFord-Fulkerson法のほかに Dinic法 が知られている。 •Dinic法のオーダーはO(E V^2) だが、実際には爆速に動く • こっちを使っているひとが多いように感じる
- 50. 問題の解き方 • 考察する • あ、これフローっぽいなor カットっぽいな • グラフをいい感じに作る • ライブラリをペタリ •AC
- 51. 問題(KUPC2014 H) https://qupc2014.contest.atcoder.jp/tasks/qupc2014_h [問題概要] M 頂点N 辺 の重みつき有向グラフと整数 P、さらに頂点番号 𝐿0, 𝐿1, … 𝐿 𝐺−1 が与 えられる。各頂点には魔法使いが一人づつ存在し、𝐿𝑖 (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐺 − 1) にいる魔 法使いは無制限に魔力を得ることができる。各辺の重みを超えないようにうまく魔 力を伝達した時に、頂点 0 に P 以上の魔力を送ることができるかどうかを答えよ [制約] 1 ≤ 𝑁 ≤ 500 1 ≤ 𝑀 ≤ 500
- 52. 考察 最大フローを求める問題に帰着できそう 頂点が複数設定される。どう処理するか？ ４ ３２ ０ １ 200 50 100 100 入力例3 4 5 1002 3 4 1 0 200 2 1 50 3 2 100 4 2 100
- 53. 考察 図のように架空の s 頂点を追加して… ４ ３２ ０ １ 200 50 100 100 Ｓ 入力例3 45 100 2 3 4 1 0 200 2 1 50 3 2 100 4 2 100
- 54. 考察 図のように架空の s 頂点を追加して… 容量INF の辺を張り… ４ ３２ ０ １ 200 50 100 100 Ｓ 入力例3 4 5 100 2 3 4 1 0 200 2 1 50 3 2 100 4 2 100 INF INF
- 55. 考察 図のように架空の s 頂点を追加して… 容量INF の辺を張り… 最大フローを流せばよい！ ４ ３２ ０ １ 50/200 50/50 0/100 50/100 Ｓ 入力例3 4 5 100 2 3 4 1 0 200 2 1 50 3 2 100 4 2 100 50/INF 0/INF
- 56.
- 57. 問題 (ABC010 D) https://beta.atcoder.jp/contests/abc010/tasks/abc010_4 [問題概要] SNSの友人関係を表す無向グラフが与えられる。 なぎさちゃんは高橋君に自分以外の女と連絡を取ってほしくない。 なぎさちゃんは以下のような工作ができる。 - 友人関係を一つ解消 - 一人のパスワードを変更し、メッセージを閲覧不可能にする なぎさちゃんが工作を行う回数の最小値を出力してください [制約] 1 ≤ 𝑉 ≤ 100
- 58.
- 59.
- 60.
- 61.
- 62.
- 63.
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- 67. 実装例(C++) • s ノードとt ノードに何番を割り振るかを • 定義してしまう。 • s := 0, t := n
- 68. 問題 (ACPC 2018I) https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/I [問題] 文字列のリストが与えられ、しりとりを以下のルールで行う。 1) まず最初に、リストの中から好きな文字列を一つ選び、その文字列をリストから 除外する。 2) 続いて、一つ前に選んだ文字列の最後の一文字が、最初の一文字である文字 列をリストから一つ選ぶ。 3) 選んだ文字列をリストから除外する。 この後、2., 3.を交互に繰り返すことになる。 さて、このしりとりを2.でリストから選べる文字列がなくなるまで続けたとしよう。 こ のときに、最後に選んだ文字列の「最後の一文字」としてあり得る文字をすべて列 挙したい。
- 69. 問題 (ACPC 2018I) https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/I [制約] 1 ≤ 𝑁 ≤ 104 1 ≤ 𝑠𝑖 ≤ 100
- 70.
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- 72. 考察 • 各文字 (a– z) に対してしりとりの最後になりうるかを判定したい • 入次数と出次数に着目？
- 73. 考察 • 各文字 (a– z) に対してしりとりの最後になりうるかを判定したい • 入次数と出次数に着目？ (入次数) < (出次数)のとき NG! c
- 74. 考察 • 各文字 (a– z) に対してしりとりの最後になりうるかを判定したい • 入次数と出次数に着目？ (入次数) ≥ (出次数)のとき OK? c
- 75. 考察 • 各文字 (a– z) に対してしりとりの最後になりうるかを判定したい • 入次数と出次数に着目？ (入次数) ≥ (出次数)のとき OK? 戻ってこれなかったらダメ c
- 76. 考察 • 各文字 (a– z) に対してしりとりの最後になりうるかを判定したい 下の図のように頂点を分解して s から t への辺素なパスが出次数と同じになればOK! 辺素なパスの本数は容量 1 のグラフにおけるフロー値! t s
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- 78. 問題(ICPC 国内予選 2009E) http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=1163&lang=jp [問題概要] 青いカードが m 枚、赤いカードが n 枚あり、それぞれに1 ≤ 𝑥 ≤ 107 の整数が書かれている。赤のカードと青のカードから互いに素でない ペアを選んで取り除く操作を行う。適切に操作を行った時、最大何組 のペアが取り除かれるか？ [制約] 1 ≤ 𝑚, 𝑛 ≤ 500
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- 80. 考察 • 最初に青の 2と赤の 2 を取り除く
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- 84. 考察 • 最後に青の 15と 赤の 35 を取り除く
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