Modul 8 nilai eigen
Download as PPTX, PDF2 likes4,282 views
Dokumen ini membahas tentang nilai eigen dan vektor eigen dari matriks bujur sangkar, termasuk teknik perhitungan dan contoh. Langkah-langkah untuk menentukan nilai dan vektor eigen serta proses diagenalisasi matriks juga dijelaskan secara rinci. Selain itu, terdapat penjelasan tentang diagonalisasi ortogonal dan langkah-langkah yang diperlukan untuk mencapainya.
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn
dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa
sehingga,
Ax = x
disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan .
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
18
03
A
yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena :
2
1
3
6
3
2
1
18
03](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-2-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
11
53
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
11
53
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah
nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
11
53
2
1
x
x
0
0
Untuk = 4, diperoleh SPL
51
51
2
1
x
x
0
0
Solusi SPL diatas adalah :
1
5
t
t
t5
x
x
2
1
Jadi vektor eigen untuk = 4,
adalah x = [5,1]. Sedangkan
vektor eigen yang bersesuaian
dengan = –2 adalah, x = [1,–1].](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-5-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
313
043
241
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
313
043
241
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
313
043
241
Untuk = 1, diperoleh SPL
213
033
242
0
0
0
x
x
x
3
2
1
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL diatas adalah :
1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
Jadi vektor eigen yang
bersesuaian dengan :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-6-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P
yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik
diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,
(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1
(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n
Contoh :
313
043
241
A
Vektor eigen dan nilai eigennya :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].
431
331
121
P
110
231
353
P
1
D = P–1AP =
300
020
001](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-7-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen8
Contoh
Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik
P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana
521
251
222
A
Jawab
Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-
akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari
: (I – A)x = 0
0
521
251
222
Untuk = 3, SPL-nya
0
0
0
x
x
x
3
2
1
221
221
221
1
0
2
s
0
1
2
t
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
p1 = [–2 ,1,0]
p2 = [–2 ,0,1]](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-8-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen9
Untuk = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
121
211
224
0
0
0
x
x
x
3
2
1
1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
p3 = [–1,1,1]
Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :
P = [p1 p2 p3] =
110
101
122
3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1
P
1
D = P–1AP =
Matrik diagonal
3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1
521
251
222
110
101
122
600
030
003](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-9-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen10
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal
jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP
(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik
A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis pada langkah (1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-10-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11
Contoh
Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan
matrik A, secara ortogonal bilamana
122
221
212
A
Jawab
Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0 0
122
221
212
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar
atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0
Untuk = 3, SPL-nya
422
211
211
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah :
1
0
2
s
0
1
1
t
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x1 = [1,1,0]
x2 = [–2 ,0,1]](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-11-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen12
Untuk = 6, SPL-nya
222
251
215
Solusi SPL-nya adalah :
2
1
1
t
t2
t
t
x
x
x
3
2
1
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x3 = [1,–1,2]
Menentukan P = [p1 p2 p3]
Menghitung p1
0,
2
1
,
2
1
2
]0,1,1[
1
1
1
|x|
x
p
Menghitung p2
p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1
[x2,p1] =
2
2
0,
2
1
,
2
1
]1,0,2[
[x2,p1]p1 = ]0,1,1[0,
2
1
,
2
1
2
2
v2 = x2 – [x2,p1]p1
= [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]
3
1
,
3
1
,
3
1
3
]1,1,1[
2p
Menghitung p3
p3 = v3/|v3|, dengan :
v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2
[x3,p1] = 00,
2
1
,
2
1
]2,1,1[
](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-12-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen13
[x3,p1]p1 = [0,0,0]
[x3,p2] =
[x3,p2]p2 = [0,0,0]
0
3
1
,
3
1
,
3
1
]2,1,1[
Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2]
6
2
,
6
1
,
6
1
6
]2,1,1[
2p
Dengan demikian,
P = [p1 p2 p3] =
6
2
3
1
0
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
2
6
1
6
1
3
1
3
1
3
1
0
2
1
2
1
P
T](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-13-320.jpg)
![Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14
baaa
abaa
aaba
A
11
11
11
1
1
1
baaa
abaa
aaba
A
SOAL-SOAL LATIHAN
a. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A
b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai
dengan nilai eigen A.
c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan
rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP.
d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P
mendiagonalisasikan A secara ortonormal,
P= [p1 p2 … pn], D=PTAP.
143
404
341
A
502
032
224
A
321
262
123
A
221
212
122
A](https://image.slidesharecdn.com/modul8nilaieigen-130914063908-phpapp01/85/Modul-8-nilai-eigen-14-320.jpg)
Modul 8 nilai eigen
- 1. MODUL VIII NILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN Prayudi STT PLN 1
- 2. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa sehingga, Ax = x disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan . Contoh : Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : 18 03 A yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena : 2 1 3 6 3 2 1 18 03
- 3. Prayudi STT PLN3 Teknik Menghitung Nilai Eigen (1) Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x sebagai, Ax = Ix (I – A)x = 0 0 ... 0 0 0 ... ... ............ ... ... ... 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 nnnnnn ij n n n x x x x aaaa a aaaa aaaa aaaa Agar supaya menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah : 0... 0)det( 1 1 1 nn nn ccc AI
- 4. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen4 Teknik Menghitung Nilai Eigen (2) Persamaan terakhir adalah polinomial berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam ). Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah : (1) Bentuk matrik (I – A) (2) Hitung determinan, det(I – A)=0 (3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0 (4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda) (5) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0
- 5. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5 Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = 11 53 Jawab Bentuk, I – A yaitu : (I – A) = 11 53 Persamaan karakteristiknya adalah : det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0 Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 11 53 2 1 x x 0 0 Untuk = 4, diperoleh SPL 51 51 2 1 x x 0 0 Solusi SPL diatas adalah : 1 5 t t t5 x x 2 1 Jadi vektor eigen untuk = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan = –2 adalah, x = [1,–1].
- 6. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6 Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = 313 043 241 Jawab Bentuk, I – A yaitu : (I – A) = 313 043 241 Persamaan karakteristiknya adalah : det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0 Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3 Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 313 043 241 Untuk = 1, diperoleh SPL 213 033 242 0 0 0 x x x 3 2 1 0 0 0 x x x 3 2 1 Solusi SPL diatas adalah : 1 1 1 t t t t x x x 3 2 1 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan : = 1 adalah x = [1,1,1] ; = 2 adalah x = [2,3,3] ; = 3 adalah x = [1,3,4].
- 7. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7 Diagonalisasi Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut : (1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen (2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn, (3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1 (4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n Contoh : 313 043 241 A Vektor eigen dan nilai eigennya : = 1 adalah x = [1,1,1] ; = 2 adalah x = [2,3,3] ; = 3 adalah x = [1,3,4]. 431 331 121 P 110 231 353 P 1 D = P–1AP = 300 020 001
- 8. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen8 Contoh Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana 521 251 222 A Jawab Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(I – A) = 0 Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar- akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 0 521 251 222 Untuk = 3, SPL-nya 0 0 0 x x x 3 2 1 221 221 221 1 0 2 s 0 1 2 t x x x 3 2 1 Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen p1 = [–2 ,1,0] p2 = [–2 ,0,1]
- 9. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen9 Untuk = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen 121 211 224 0 0 0 x x x 3 2 1 1 1 1 t t t t x x x 3 2 1 p3 = [–1,1,1] Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah : P = [p1 p2 p3] = 110 101 122 3/23/23/1 3/13/23/1 3/23/13/1 P 1 D = P–1AP = Matrik diagonal 3/23/23/1 3/13/23/1 3/23/13/1 521 251 222 110 101 122 600 030 003
- 10. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen10 Diagonalisasi Ortogonal Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal. Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni : (1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, (2). A matrik simetris, (3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen. Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut : (1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn. (2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal, dari vektor basis pada langkah (1). (3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]
- 11. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11 Contoh Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana 122 221 212 A Jawab Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(I – A) = 0 0 122 221 212 Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 Untuk = 3, SPL-nya 422 211 211 0 0 0 x x x 3 2 1 Solusi SPL-nya adalah : 1 0 2 s 0 1 1 t x x x 3 2 1 Vektor eigen x1 = [1,1,0] x2 = [–2 ,0,1]
- 12. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen12 Untuk = 6, SPL-nya 222 251 215 Solusi SPL-nya adalah : 2 1 1 t t2 t t x x x 3 2 1 0 0 0 x x x 3 2 1 Vektor eigen x3 = [1,–1,2] Menentukan P = [p1 p2 p3] Menghitung p1 0, 2 1 , 2 1 2 ]0,1,1[ 1 1 1 |x| x p Menghitung p2 p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1 [x2,p1] = 2 2 0, 2 1 , 2 1 ]1,0,2[ [x2,p1]p1 = ]0,1,1[0, 2 1 , 2 1 2 2 v2 = x2 – [x2,p1]p1 = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1] 3 1 , 3 1 , 3 1 3 ]1,1,1[ 2p Menghitung p3 p3 = v3/|v3|, dengan : v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2 [x3,p1] = 00, 2 1 , 2 1 ]2,1,1[
- 13. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen13 [x3,p1]p1 = [0,0,0] [x3,p2] = [x3,p2]p2 = [0,0,0] 0 3 1 , 3 1 , 3 1 ]2,1,1[ Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2] 6 2 , 6 1 , 6 1 6 ]2,1,1[ 2p Dengan demikian, P = [p1 p2 p3] = 6 2 3 1 0 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 P T
- 14. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14 baaa abaa aaba A 11 11 11 1 1 1 baaa abaa aaba A SOAL-SOAL LATIHAN a. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai dengan nilai eigen A. c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP. d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P mendiagonalisasikan A secara ortonormal, P= [p1 p2 … pn], D=PTAP. 143 404 341 A 502 032 224 A 321 262 123 A 221 212 122 A