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Multi terminal networkflows
- 1. Multi-Terminal Network Flows R.E. Gomory and T. C. Hu Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol 9, No. 4 pp. 551-570 1 mayoko
- 2. フローとは グラフ 𝐺(𝑉, 𝐸)の各枝 𝑒 ∈ 𝐸に対して, 非負実数の容量 𝑐(𝑒) が定義されている。 また, グラフの 2 点 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑉を指定する。 s 2 1 3 t 10 2 6 6 3 8 5 2
- 3. フローとは このグラフ 𝐺 において,関数 𝑓: 𝐸 → ℝ+ が以下を満たすとき, 𝑓 をフローネットワークと呼ぶ。 容量制限: 0 ≤ 𝑓 𝑒 ≤ 𝑐 𝑒 フロー保存則: ∀𝑣 ∈ 𝑉 − 𝑠, 𝑡 : 𝑣,𝑤 ∈𝐸 𝑓 𝑣, 𝑤 − 𝑤,𝑣 ∈𝐸 𝑓 𝑤, 𝑣 = 0 10 6 4 1 5 6 s 2 1 3 t 10 2 6 6 3 8 5 3 フロー量は 11
- 4. カットとは グラフ G(V, E)の頂点 V の 2 分割 (S, T)のことをカットと言う。 カットに関して, 始点 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇のとき, ある辺 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸が𝑢 ∈ 𝑆, 𝑣 ∈ 𝑇を満たすとき, 𝑢, 𝑣 を カットエッジと呼び, カットエッジのコストの総和をカットのサイズと言う。 カットサイズは 11 s 2 1 3 t 10 2 6 6 3 8 5 4
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- 6. 問題設定 ネットワークグラフ(𝑉, 𝐸, 𝑐)が与えられる。 任意の頂点間𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉に関して, 𝑢を始点, 𝑣を終点とした際の最大フローを考える 6
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- 8. 概要 1. Gomory-Hu 木 2.Satisfactory Network 8
- 9. 概要 1. Gomory-Hu 木 2.Satisfactory Network 9
- 10. 定理1 各頂点間(𝑁𝑖, 𝑁𝑗)について, この頂点間の最大フローを𝐹𝑖,𝑗にしたいという要望があったとする。 グラフをうまく作って, 各頂点間の最大フローをぴったり𝐹𝑖,𝑗にしたい。 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁0 0 10 15 15 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 15 10 20 0 0 1 215 要望𝐹 3 10 20 10
- 11. 定理1 要望 𝐹 が実現可能であるための必要十分条件は, ∀𝑖,𝑗, 𝑘: 𝐹𝑖,𝑘 ≥ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘) が成り立つことである。 11
- 12. 定理1 (必要性) 背理法で示す。 𝐹𝑖,𝑘 < min(𝐹𝑖,𝑗,𝐹𝑗,𝑘) が成り立つとすると, 頂点 𝑁𝑖, 𝑁𝑘 にあるカット 𝐴 が存在して, そのカットサイズは 𝐹𝑖,𝑘 になる。 𝑁𝑗 ∈ 𝐴 であるとすると, (𝑁𝑗, 𝑁𝑘)は 𝐴 でカットすればカットサイズが 𝐹𝑗,𝑘より小さくなるので, 最小 性に矛盾。 𝑁𝑗 ∈ 𝑉 − 𝐴の場合も 𝐹𝑖,𝑗について同様のことが言える。 12
- 13. 定理1 (十分性) ∀𝑖, 𝑗, 𝑘:𝐹𝑖,𝑘 ≥ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘) が成り立っているという条件の下で, 要望 𝐹 を満たすグラフを構成する。 これは,要望 𝐹 に関する最大全域木を作れば良い。 13
- 14. 定理1 要望𝐹から最大全域木を作る。 𝑁0 𝑁1 𝑁2𝑁3 𝑁0 0 10 15 15 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 15 10 20 0 0 1 215 要望𝐹 3 10 20 14
- 15. 定理1 任意の頂点 𝑁𝑖, 𝑁𝑝について,木の上での𝑁𝑖 から 𝑁𝑝 へのパスは一意に定まり, 𝐹𝑖,𝑝 ≤ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘, … , 𝐹𝑜,𝑝) 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁0 0 10 15 15 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 15 10 20 0 要望𝐹 0 1 215 3 10 20 15
- 16. 定理1 また, 仮定 ∀𝑖,𝑗, 𝑘: 𝐹𝑖,𝑘 ≥ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘)より, 任意のパスについて 𝐹𝑖,𝑝 ≥ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘, … , 𝐹𝑜,𝑝) ∴ 𝐹𝑖,𝑝 = min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘, … , 𝐹𝑜,𝑝) 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁0 0 10 15 15 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 15 10 20 0 要望𝐹 0 1 215 3 10 20 16
- 17. アルゴリズム1 要望 𝐹 が与えられたときに,その要望を満たすグラフを構成するアルゴリズム 1. 𝐹 から最大全域木を作る(プリム法などが知られている) 2. 定理 1 で与えた不等式を満たすか確かめる 3. 確かめて不等式を満たすなら 構成した木を返す 𝑂 𝑁2 (𝑁は頂点数)で計算できる 17
- 18. 定理2 ネットワークグラフ(𝑉, 𝐸, 𝑏)が与えられるので, 各頂点間の最大フロー (𝐹𝑖,𝑗)の行列𝐹を構成する, とい う問題を考える 18 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁0 0 10 15 15 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 15 10 20 0 𝐹 0 1 215 3 10 20
- 19. 定理2 観察 ネットワークグラフから構成される行列 𝐹 は当然実現可能 定理1 の証明から, 行列 𝐹 に現れるユニークな最大フローの値は高々𝑁 − 1種類 𝑁頂点から 2 つの頂点を選ぶ方法は 𝑁(𝑁 − 1)/2あるけど全部調べる必要はないのでは？ 19
- 20.
- 21. 補題1 𝑁𝑖, 𝑁𝑗のカットで最小カットになるものを 𝐴, 𝐴とする。 また,集合𝐴に𝑁𝑒, 𝑁𝑘があるとする。 このとき, 21 𝑁𝑒, 𝑁𝑘 の間の最大フローは上のグラフと下のグラフで変わらない。
- 22. 補題1(証明の概略) 𝑁𝑒, 𝑁𝑘 の最小カットについて,𝐴はどちらか側に寄せても正しい最小カットを返すことが保証でき る。 この 𝐴を 1 点集中させてもカットは同じだから, 補題が成り立つ。 22
- 23. アルゴリズム2 入力:ネットワークグラフ(𝑉, 𝐸, 𝑏) 出力:各頂点間の最大フロー(𝐹𝑖,𝑗)の行列𝐹を求めるための木(Gomory-Hu 木) 1. すべての頂点集合 𝑉をひとつのノードとみなす 2. すべてのノードが要素ひとつの頂点集合になるまで以下を繰り返す。 ノードから任意に 2 つの頂点を選び, その 2 頂点に関する最小カットを計算する。 その後, 分割された最小カット同士を辺で結ぶ。 23
- 24. アルゴリズム2 𝑖 𝑗 B DC B DC 𝐴1 𝐴2 𝐴1 𝐴2 𝑖と 𝑗 の最大フローは 𝑣𝑣1 𝑣2 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣3 24
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- 26. アルゴリズム2 の具体例 頂点2, 6を選択 最小カットは (1, 2 | 3, 4, 5, 6)で, サイズは17 1,2 3,4 5,6 17 26
- 27. アルゴリズム2 の具体例 頂点1, 2を選択 最小カットは (1 | 2, 3, 4, 5, 6)で, サイズは18 2 3,4 5,6 17 1 18 27
- 28. アルゴリズム2 の具体例 頂点3, 6を選択 最小カットは (1, 2, 6 | 3, 4, 5)で, サイズは13 2 3,4, 5 17 1 18 6 13 28
- 29. アルゴリズム2 の具体例 頂点4, 5を選択 最小カットは (4 | 1, 2, 3, 5, 6)で, サイズは14 2 3, 5 17 1 18 6 13 4 14 29
- 30. アルゴリズム2 の具体例 頂点3, 5を選択 最小カットは (3 | 1, 2, 4, 5, 6)で, サイズは15 すべてのノードがひとつの頂点集合になったので終了 2 5 17 1 18 6 13 4 14 15 3 30
- 31. 補題2 上記のアルゴリズムで木を生成できるが, 2 つの頂点𝑁𝑖, 𝑁𝑗間のフローは, min(𝑣𝑖1,𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖𝑟) で表される(𝑣𝑖𝑘は頂点間のパスの重みを表す) 例) 頂点 1-4 間の最大フローは 13 2 5 17 1 18 6 13 4 14 15 3 31
- 32. 補題2の証明 𝐹𝑖𝑗 ≤ min(𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑟) は成り立つ ∵それぞれの edge は, その edge で分割される 2 つの集合間のカットになっている。 𝐹𝑖𝑗は𝑁𝑖, 𝑁𝑗の最小カットのサイズを表しているので, これらの集合によるカット以下である。 あとは 𝐹𝑖𝑗 ≥ min(𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑟) を示せば良い 32
- 33. 補題2の証明 各ノードは集合をグラフの頂点部分集合と対応している。 隣接したノード 2 つが対応している頂点部分集合を𝑆1, 𝑆2とする。 このとき, 頂点 𝑁𝑖 ∈ 𝑆1, 𝑁𝑗 ∈ 𝑆2が存在して, 𝑁𝑖, 𝑁𝑗間の最大フローは𝑣であるということを示す 𝑆2𝑆1 𝑣 33
- 34. 補題2の証明 これが証明できると, 定理 1から出来た木の中で 𝐹𝑖𝑗 ≥ min(𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑟) が成り立つ 定理1: 要望 𝐹 が実現可能であるための必要十分条件は, ∀𝑖, 𝑗, 𝑘: 𝐹𝑖,𝑘 ≥ min(𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘) が成り立つことである。 34
- 35. 補題2の証明 頂点 𝑁𝑖と 𝑁𝑗について分割して右図のようになったとする (集合𝐴𝑖, 𝐴𝑗で分割) 集合 𝐴𝑖, 𝐴𝑗はコスト 𝑣 で隣接しているが, 頂点 𝑁𝑖 ∈ 𝐴𝑖と 𝑁𝑗 ∈ 𝐴𝑗の最大フローが𝑣 35
- 36. 補題2の証明 この後, 集合 𝐴𝑖内の頂点𝑁𝑝, 𝑁𝑞で木を分割したとする 頂点 𝑁𝑝側の集合を 𝐴𝑖 𝑝 頂点 𝑁𝑞側の集合を 𝐴𝑖 𝑞 𝐴𝑖 𝑝 と 𝐴𝑖 𝑗 は隣接している 36
- 37. 補題2の証明 𝑁𝑖 ∈ 𝐴𝑖𝑝 のとき 𝑁𝑖 ∈ 𝐴𝑖 𝑝 , 𝑁𝑗 ∈ 𝐴𝑗が最大フロー 𝑣を実現するので OK 37
- 38. 補題2の証明 𝑁𝑖 ∈ 𝐴𝑖𝑞 のとき 定理1 から 𝐹𝑗𝑝 ≥ min(𝐹𝑗𝑖, 𝐹𝑖𝑞, 𝐹𝑞𝑝) 𝑁𝑗, 𝑁𝑝間のフローを考えるとき集合 𝐴𝑖 𝑞 を一点とみなせ る(補題2)から 𝐹𝑗𝑝 ≥ min 𝐹𝑗𝑖, 𝐹𝑞𝑝 = min(𝑣, 𝑣′) 38
- 39. 補題2の証明 辺 𝑣′は頂点 𝑁𝑖,𝑁𝑗をカットする辺なので, 𝑣′ ≥ 𝐹𝑖𝑗 = 𝑣 よって 𝐹𝑗𝑝 ≥ 𝑣 辺 𝑣は頂点 𝑁𝑗, 𝑁𝑝をカットする辺なので, 𝐹𝑗𝑝 ≤ 𝑣 ∴ 𝐹𝑗𝑝 = 𝑣 よって𝐴𝑖 𝑝 , 𝐴𝑗間は頂点𝑁𝑗, 𝑁𝑝が最大フローを𝑣にする 39
- 40. 概要 1. Gomory-Hu 木 2.Satisfactory Network 40
- 41. Satisfactory Network 各頂点間(𝑁𝑖, 𝑁𝑗)について,この頂点間の最大フローを 𝑅𝑖,𝑗以上にしたいという要望があったと する。 この条件を満たすネットワークグラフのことを Satisfactory Network と言う。 この中で, 各辺の容量の和を最小化したい。 41
- 42. Satisfactory Network Satisfactory Networkの例 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁0 0 10 15 10 𝑁1 10 0 10 10 𝑁2 15 10 0 20 𝑁3 10 10 20 0 0 1 215 要望𝑅 3 10 20 42
- 43. Satisfactory Network について考察 𝑅𝑖,𝑗に関して 最大全域木をつくる この木に関して, 𝑅𝑖,𝑝 ≤ min(𝑅𝑖,𝑗, 𝑅𝑗,𝑘, … , 𝑅 𝑜𝑝) が成り立つので, 𝐹𝑖,𝑝 ≥ min 𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑗,𝑘, … , 𝐹𝑜,𝑝 ≥ min 𝑅𝑖,𝑗, 𝑅𝑗,𝑘, … , 𝑅 𝑜,𝑝 ≥ 𝑅𝑖,𝑝 つまり, 最大全域木について 𝑅 の条件を満たせば良い(この最大全域木のことを dominant tree と言う)。 43
- 44. Satisfactory Network について考察 頂点𝑁𝑖, 𝑁𝑗間の辺の容量を 𝐵𝑖,𝑗とすると, 全体で使う容量(total branch capacity) は, 1 2 𝑖 ≠𝑗 𝐵𝑖,𝑗 ここで, 𝑢𝑖 = max 𝑅𝑖,𝑗 とすると, 1 2 𝑖 ≠𝑗 𝐵𝑖,𝑗 ≥ 1 2 𝑖 𝑢𝑖 ≝ 𝐶𝐿 (𝐶𝐿は total branch capacity の下限) 44
- 45. Satisfactory Network について考察 木𝑇 に対して 𝑅𝑖,𝑗が決まっている → 𝐶𝐿が決まる 木 𝑇′ に対して 𝑅′𝑖,𝑗が決まっている → 𝐶′ 𝐿が決まる 45
- 46. Satisfactory Network について考察 𝑅𝑖,𝑗 ′′ =𝑅𝑖,𝑗 + 𝑅𝑖,𝑗 ′ とすると, 𝐶′′ 𝐿 ≤ 𝐶𝐿 + 𝐶𝐿 ′ 特に𝑅𝑖,𝑗, 𝑅′𝑖,𝑗がそれぞれ木𝑇, 𝑇′ で一定である(uniform tree)ならば, 𝐶′′ 𝐿 = 𝐶𝐿 + 𝐶𝐿 ′ 46
- 47. Satisfactory Network について考察 同様に, 𝐵𝑖,𝑗 ′′ =𝐵𝑖,𝑗 + 𝐵𝑖,𝑗 ′ と容量を決めると, 𝐹𝑖,𝑗 ′′ ≥ 𝐹𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖,𝑗 ′ 47
- 48. Satisfactory Network について考察 Dominanttree に対して, min(𝑅𝑖,𝑗)による uniform tree 𝑅𝑖,𝑗 − min(𝑅𝑖,𝑗) の要求を持つ森 を作ると, この木に対して 𝐶𝐿は一定 𝐹𝑖,𝑗は 𝑅𝑖,𝑗以上 であるような木を構成することができる 48
- 49. アルゴリズム3 入力:ネットワークグラフが満たしてほしい要求 𝑅 出力:各頂点間の最大フローが 𝑅𝑖,𝑗以上になるネットワークグラフ 1.要求 R から最大全域木(dominant tree) を作る 2. 以下を繰り返す 1. いくつかの木に分かれているので, それぞれの木で 1. コスト最小の辺を選ぶ 2. 木の各辺を 𝑟𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖 ,𝑗 − 𝑚𝑖𝑛𝑅として更新する 49
- 50. アルゴリズム3 3. Step2 で出来たtree はすべて uniform tree になっている。各コストを𝛽とすると, 各辺のコス トが 𝛽/2 となるように連結成分でループを作る 4. 上記のループをすべて足しこんだものが答え 50
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- 52. アルゴリズム3 の例 Step 1:要求 R から最大全域木(dominant tree) を作る 52
- 53. アルゴリズム3 の例 Step 2:いくつかの木に分かれているので, それぞれの木で コスト最小の辺を選ぶ(𝑚𝑖𝑛𝑅とする) 木の各辺を 𝑟𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖 ,𝑗 − 𝑚𝑖𝑛𝑅として更新する 53
- 54. アルゴリズム3 の例 この dominanttree について考える 1 2 3 45 9 6 7 5 54
- 55. アルゴリズム3 の例 まず 2つの木に分割する 木で最小の辺は 5 1 2 3 45 9 6 7 5 55
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- 58. アルゴリズム3 の例 Step3: uniformtree からループを作る 1 2 3 45 5 5 5 5 1 2 3 45 5/2 5/2 5/2 5/2 5/2 例 58
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