2. Bilangan
1. Keterbagian, Faktor Bilangan,
Bilangan Prima, Kelipatan Bilangan
2. Kongruensi Modulo
3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret
4. Induksi Matematika
2
4. a. Keterbagian
1) Bilangan Real
Bilangan Real adalah gabungan antara himpunan rasional dengan
semua himpunan bilangan irasional
4
5. a. Keterbagian
2) Relasi Keterbagian
Bilangan bulat membagi habis bilangan bulat (ditulis | ) apabila
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
terdapat bilangan bulat k sehingga = . Jika tidak membagi
𝑏 𝑎𝑘 𝑎
habis maka dituliskan .
𝑏 𝑎 ∤ 𝑏
5
Contoh
• 3|21 karena terdapat bilangan bulat yakni 7 sehingga 21 = 3.7
• 5 12 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 12 = 5.
∤ 𝑘 𝑘
6. a. Keterbagian
2) Relasi Keterbagian
Teorema 1.1
6
Jika | dan | maka | .
𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐
Teorema 1.2
Jika | dan |( + ) maka |
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐.
Teorema 1.3
Jika | , maka | untuk semua
𝑝 𝑞 𝑝 𝑞𝑟 𝑟 ∈ Ζ
Teorema 1.4
Jika | dan | , maka | +
𝑝 𝑞 𝑝 𝑟 𝑝 𝑞 𝑟
7. b. Faktor Persekutuan Terbesar
7
Definisi 1.2
Suatu bilangan bulat disebut faktor persekutuan dari dan apabila | dan | .
𝑑 𝑎 𝑏 𝑑 𝑎 𝑑 𝑏
Definisi 1.3
Bilangan bulat positif d disebut FPB dari dan jika dan hanya jika:
𝑎 𝑏
(i). | dan |
𝑑 𝑎 𝑑 𝑏
(ii). jika | dan | maka
𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 ≤ .
𝑑
8. b. Faktor Persekutuan Terbesar
8
Faktor persekutuan terbesar dari dan dinotasikan dengan
𝑎 𝑏
( , ). Beberapa hal yang perlu diketahui tentang FPB antara lain:
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏
(i). (0,0) tidak didefinisikan.
𝐹𝑃𝐵
(ii). ( , ) selalu bilangan bulat positif, sehingga ( , )
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 ≥ 1.
(iii). ( , ) = ( , - ) = (- , ) = (- , - ).
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏
Contoh
1). FPB dari 30 dan 105 adalah 15, sehingga ditulis (30, 105) =
𝐹𝑃𝐵
15.
2). FPB dari 9 dan 20 adalah 1, sehingga ditulis (9,20) = 1.
𝐹𝑃𝐵
9. b. Faktor Persekutuan Terbesar
9
Contoh
Karena (24,30) = 6 maka (24: 6, 30: 6) = (4,5) = 1.
𝐹𝑃𝐵 𝐹𝑃𝐵 𝐹𝑃𝐵
Teorema 1.5
Jika ( , ) = maka ( : , : ) = 1
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝑑 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑑 𝑏 𝑑
Definisi 1.4
Bilangan bulat dan disebut relatif prima (saling prima) jika ( , ) = 1
𝑎 𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 .
10. b. Faktor Persekutuan Terbesar
10
Teorema 1.6 (Algoritma Pembagian Bilangan Bulat)
Untuk setiap bilangan bulat positif dan
𝑎 𝑏
terdapat dengan tunggal bilangan bulat dan
𝑞 𝑟
sedemikian sehingga = + dengan 0
𝑏 𝑞𝑎 𝑟 ≤ < .
𝑟 𝑎
Teorema 1.7
Jika = + , maka ( , ) = ( , ).
𝑏 𝑞𝑎 𝑟 𝐹𝑃𝐵 𝑏 𝑎 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑟
Contoh
Jika = 24 dan = 81 maka = 3 dan = 9,
𝑎 𝑏 𝑞 𝑟
sebab 81 = (3). (24) + 9.
Terlihat bahwa (81,24) = 3 dan (24,9) =
𝐹𝑃𝐵 𝐹𝑃𝐵
3.
12. b. Faktor Persekutuan Terbesar
12
Teorema 1.9
Untuk setiap bilangan bulat tak nol dan terdapat bilangan bulat
𝑎 𝑏 𝑚
dan 𝑛
sedemikian sehingga ( , ) = +
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏 𝑎𝑚 𝑏𝑛
13. b. Faktor Persekutuan Terbesar
13
Contoh
Jika = 247 dan = 299,
𝑎 𝑏
maka diperoleh:
299 = 247 . 1 + 52
247 = 52 . 4 + 39
52 = 39 . 1 + 13
39 = 13 . 3
Berdasarkan Teorema 1.6
diperoleh ( , ) = 13.
𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑏
Selanjutnya akan ditentukan bilangan bulat 𝑚
dan sehingga 13 = 247 +299 .
𝑛 𝑚 𝑛
Caranya sebagai berikut.
13 = 52 - 39 . 1
= 52 - (247 - 52 . 4)
= 52 . 5 - 247
= (299 - 247 . 1) . 5 - 247
= 299 . 5 - 247 . 6
Jadi = -6 dan = 5
𝑚 𝑛
14. b. Faktor Persekutuan Terbesar
14
Contoh
a = 5, b=4, d= 2
Terlihat 2|5.4 dan (2, 5) = 1
𝐹𝑃𝐵
maka 2|4
Teorema 1.10
Jika | dan ( , ) = 1, maka | .
𝑑 𝑎𝑏 𝐹𝑃𝐵 𝑑 𝑎 𝑑 𝑏
Teorema 1.11
Jika | dan | dengan ( , ) = maka | .
𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑
15. b. Faktor Persekutuan Terbesar
15
Teorema 1.11
Jika | dan | dengan ( , ) = maka | .
𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑
Contoh
a = 8, b =12, c = 2
Terlihat 2|8 dan 2|12 dengan (8, 12) = 4 maka 2|4.
16. c. Bilangan Prima
16
1) Pengertian Bilangan Prima
Bilangan bulat > 1 disebut bilangan prima jika mempunyai faktor positif hanya
𝑝 1 dan p
2) Bilangan Komposit
Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut
bilangan komposit (bilangan tersusun).
3) Unit
Bilangan 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit. Selanjutnya 1 disebut
unit
17. c. Bilangan Prima
17
Teorema 1.13
Setiap bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.
Teorema 1.14
Setiap bilangan bulat > 1 merupakan bilangan prima atau dapat dinyatakan
𝑛 𝑛
sebagai perkalian bilangan-bilangan prima tertentu.
18. c. Bilangan Prima
18
Teorema 1.14 dapat digunakan untuk menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan bulat atau lebih.
Misalkan , dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih dari 1
𝑎 𝑏 𝑐
19. c. Bilangan Prima
19
Contoh
Hitung KPK dan FPB dari 198, 216 dan 252.
Penguraian atas faktor-faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut adalah:
27. 27
1! = 1
3! = 1 x 2 x 3
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9
11! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11
13! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13
26 36
45
210
64
24 34
83
29
93
36
102
22 22
31
6 + 6 + 10 + 4 + 4 + 9 + 6 + 2 + 2 + 1 = 50
![31
KPK [6,9] = 18
Mereka akan berlatih Bersama lagi setelah 18
hari](https://image.slidesharecdn.com/modul5kb1-250630002803-5075084f/85/power-point-slide-modul-Bilangan-bermanfaat-silankan-bisa-dipelajari-31-320.jpg)