Order dari Elemen Grup

Order dariElemenDefinisi: Misal(G, ) adalahsebaranggrup. Misal a adalahsebarangelemendari G. Untuksuatubilanganbulatterkecil m yang memenuhiam= e (e adalahelemenidentitasdiG) maka m dikatakansebagaiorderdari a, dandituliskansebagaia = m. Dalamkasusini, jikatidakada m yang memenuhiam= e, kitakatakanbahwa a berorder infinite atau nol. Contoh : (1) Diberikangrup modulo 6 denganoperasijumlahatau (M6, +) M6= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }Elemenidentitasadalah 0 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 maka1 = 6 2 + 2 + 2 = 0 maka2 = 33 + 3 = 0 maka3 = 24 + 4 + 4 = 0 maka4 = 35 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 0 maka5 = 6 dan0 = 1

Diberikangrup (K , x ) dengan K = { i, -i, 1, -1 } Dengan membuat Tabel Cayley berikut maka kita mudah menentukan ordermasing-masing elemenElemenidentitasadalah 1 ix i x i x i = 1 makai= 4(-i) x (-i) x (-i) x (-i) = 1 maka-i = 4(-1) x (-1) = 1 maka-1 = 2dan1 = 1

3. Diberikan (Z, +) adalahgrup. Padagrupini, elemenidentitasadalah 0 dan0 = 1Apabilakitaperhatikanelemen-elemendi Z selain 0, makatidakadabilanganbulatpositif n (atausebanyak n) yang memenuhi n x a = 0 atau yang memenuhia + a + … + a = 0 (sebanyak n). Olehkarenanya, elemenselain 0 beroder infinite atau 0. Jadipadagrup (Z, +), tidakadaelemendi Z selain 0 yang beroder finite. Grup(Z, +) disebutsebagaigrup Torsion bebas. (tidakadaelemenpadagruptersebut yang beroder finite kecualiel. identitas). 4. Grup(Q –{0} , x) ; Q – {0} adalahhimp. bilanganrasional yang tidakmemuat 0. Elemenidentitasdari Q – {0} adalah 1 dan1 = 1Apabilakitaperhatikanelemen -1 pada Q - {0} maka-1 = 2. Akantetapielemen-elemenselain 1 dan –1 pada Q – {0} beroderinfinteatau 0, karenatidakadabilanganbulatpositifterkecil n yang memenuhia = 1. Jadielemen 1 beorder 1 danelemen –1 berorder 2, akantetapisetiapelemenyang lain (kecuali 1 dan –1) adalahberorder infinite. Akibatnya(Q – {0}, x ) disebutmixed group.

Teorema 7 : Padagrup finite (terhingga), order darisetiapelemenadalah finite (terhingga)Bukti:Misal(G, ) adalahgrup. Misal a  G dan e  G adalahelemenidentitas. KarenaG tertutupterhadapoperasi o maka a a, a a a, dstadalahtermuatdiG. Jugaelemen-elemen a, a2, … , ak, … , ahtidaksemuanyadapatberbeda.Misal ak= ahdengan k > h maka ak(a-h) = ah(a-h) ak-h= e akibatnyaa = k – h karenak > h maka k – h adalahbilanganbulatpositif. Misalk – h = m maka m adalahbilanganbulatpositifterhinggasedemikianhingga am= e. Akibatnyaa m. Order dari a adalah finite dan a adalahsebarangelemendari G, makaorderdarigrup finite adalah finite. Teorema 8 : Order elemendarisuatugrupadalahselalusamadengan order dariinversnya.Bukti: Misal(G, ) adalahgrup, makaakankitatunjukkanbahwaa = a-1untuksetiap a  G.

Andaikana = m dana-1 = n ( m  n ) a = m berartiam= e ( e = elemenidentitasdi G) sehingga (am )-1 = e a-m = e(a-1 )m= einiberartia-1 m atau n  m Begitu pula a-1 = n berarti(a-1 )n= e (an )-1= e [(an )-1 ]-1= e-1an = eIni menujukkanbahwaa n atau m  n Karena m  n dan n  m maka m = n. Kontradiksidenganpengandaian. Jadia = a-1.

Teorema 9: Misal(G, ) adalahgrup. Untuksetiapa,b G makaa = b a b-1Bukti: Misala = m maka m adalahbilanganbulatpositifterkecil yang memenuhiam= e ( e = elemenidentitasdi G) Selanjutnya(b a b-1)m= (b a b ) (b a b ) … (b a b )Sebanyakm (b a b-1 )m= b a ( b b-1) a ( b b-1) a … a b-1= b a e a e … a b-1= b a a a … a b-1= b amb-1= b e b-1………….. (karena a = e ) = b b-1= e

karena(b a b-1) = e dan m adalahbilanganbulatpositifterkecilmakab a b  = m.Teorema 10 : Misal(G, ) adalahgrupmakaa b  = b a ,  a, b  G Bukti : Misal e adalahelemenidentitasdi G maka(a b ) = ( a b ) e ………… sifatidentitasdi G = ( a b ) (a a-1) ………. .. Ingat( a a-1) = e = a ( b a ) a-1 ………… assosiatifdi G akibatnyaa b = a (b a) a-1…….. (i) menurutteorema 9 makaa (b a) a-1= b a ……… (ii)dari (i) dan (ii) diperolehbahwaa b = b a

Teorema 11:Jikaa  G dana = n dan e adalahidentitasdi G berlakubahwauntuksuatubilanganbulatpositif m denganam = e jikahanyajika n adlhpembagidari m Bukti : ( ) Misal(G, ) adalahgrup. Akanditunjukkanbahwaa  G danam= nyang berartian= e  n pembagidari m a  G dana = n danam = e maka m  n , untuksuatubilbulat m untukm = n makajelas n pembagidari m untukm > n makaberdasarkanalgoritmapembagianbahwaterdapatbilanganbulat q dan r sedemikianhingga m = q.n + r ; 0  r  n selanjutnyaam = eaqn+r = e(aqn) ar = e(an)qar = e eqar = e ar = e

r adalahbilanganbulat non negatif yang sedemikanhingga 0  r  n danar= e. Karena n adalahbilanganbulatpositifterkecilmaka r belumtentupositif.Akibatnyar = 0 sehingga m = qn. Iniberartibahwa n adalahpembagidari m.() akanditunjukkanbahwaa  G, a = n , m adalahbilanganbulatpositifdann m am= eBukti : n m maka m = qn , untuksuatubilanganbulatpositif q Akibatnyaam= anqam= (an)qam= eqam= e …………… terbuktiTeorema 12: Misal(G, ) adalahgrup. Misal a  G dana = n , jika (p,n) = 1 makaap = nBukti : a = n makaan= e ;(e = elemenidentitas) (an)p= ep

a np = e(ap)n = e berartiap n karena m  n makaap= m …………. (i)karena (p , n ) = 1 makadapatdituliskansebagaipq + mn = 1 (q,m Z) selanjutnya a = a a = aqp+mna = aqpamna = (ap)q(an)ma = (ap)qema = (ap)qe a = (ap)qdan am= [(ap)q ]mam= (ap)qm

am = [(ap)q ]m am = eq………….. (lihat (i) ap= m atauapm= e) am = ekarenan adalahbilanganbulatpositifterkecil yang memenuhian= e dantidak ada bilanganbulatpositif m yang lebihkecildari n ygmemenuhiam= eberartim n . Akibatnyam = n substitusipadabagian 1 makadiperolehap= n

Order dari Elemen Grup

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Order dari Elemen Grup (20)

Recently uploaded (20)

Order dari Elemen Grup